如果週期是2
π2\pi
2π並且絕對可積，那麼可以算傅利葉級數。
求之前最好說一句是按段光滑的。
1.f (x
)=a0
2+∑(
1→∞)
(ancos(
nx)+
bnsin(n
x))f(x)=\frac}+\sum(1\to \infty)(a_\cos(nx)+b_\sin(nx))
f(x)=2
a0
+∑(1
→∞)(
ancos(n
x)+b
nsin(nx
))a 0=
1π∫−
ππf(
x)dx
a_=\frac\int_^f(x)dx
a0=π1
∫−π
πf(
x)dx
a n=
1π∫−
ππf(
x)cos(n
x)dx
a_=\frac\int_^f(x)\cos(nx)dx
an=π1
∫−π
πf(
x)cos(nx
)dxbn=
1π∫−
ππf(
x)sin(n
x)dx
b_=\frac\int_^f(x)\sin(nx)dx
bn=π1
∫−π
πf(
x)sin(nx
)dxan,bn都是趨於0的
如果給的函式是0到2
π2\pi
2π那就算那個上面的積分。
2. 奇函式an=0，偶函式bn=0，不需要去算了
3.一般來說要用到分部積分法，把sinnxdx積出來，這個比較複雜，一定要小心。
4.cos(
nπ)\cos(n\pi)
cos(nπ
)是(−1)
n(-1)^n
(−1)
n,而不是1，這個要注意
收斂定理：f(x
)f(x)
f(x)
按段光滑(在有限點不可導，其餘可導)則一致收斂到了傅利葉級數。
這個證明及其煩有什麼一大堆dini連續，holder連續，lip連續之類的，還有很多判別法，應該不會考。
還有乙個判斷傅利葉級數收斂的：就是把sincos放成1然後加絕對值的級數收斂，傅利葉級數一致收斂且絕對收斂。
1.cosnx，sinnx，1在乙個週期裡與別人內積是0，與自己的內積是π
\piπ2.有(1-x)cosnx這種直接分布積分，無需換元
3.有關導數的這種，傅利葉級數逐項求導，方便。
給的是0到l上的，可以奇延展或者偶延展，或者直接原模原樣的延展
傅利葉級數，如果是奇偶延拓，一定換到正半週期上來算，因為負半週期的函式式都變了.
公式雖然是上面這個，但是計算時候為了方便換到正半週期上算。不然要分段積分了。
如果是偶函式可以算0到l的2倍
傅利葉級數
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