傅利葉級數在數論、組合數學、訊號處理、概率論、統計學、密碼學、聲學、光學等領域都有著廣泛的應用，這不由得讓人肅然起敬。一開啟《訊號與系統》、《鎖相環原理》等書籍，動不動就跳出乙個「傅利葉級數」或「傅利葉變換」，弄一長串公式，讓人雲山霧罩。
如下就是傅利葉級數的公式：
公式會看的人懷疑人生，我們先看下圖理解下：
時域影象：就是我們說的f(t)訊號
頻率影象：級數展開後每一項對應著頻率影象中的1條曲線（1個訊號）
其實下圖就說明了乙個週期函式f(t)可以通過一系列正弦函式來表示。
不知那個傅利葉什麼時候靈光乍現，把乙個週期函式f(t)硬生生地寫成這麼一大堆東西。單看那個①式，就是把週期函式f(t)描述成乙個常數係數a0、及1倍ω的sin和cos函式、2倍ω的sin和cos函式等、到n倍ω的sin和cos函式等一系列式子的和，且每項都有不同的係數，即an和bn，至於這些係數，需要用積分來解得，即②③④式，不過為了積分方便，積分區間一般設為[-π, π]，也相當乙個週期t的寬度。
能否從數學的角度推導出此公式，以使傅利葉級數來得明白些，讓我等能了解它的前世今生呢?下面來詳細解釋一下此公式的得出過程：
首先，週期函式是客觀世界中週期運動的數學表述，如物體掛在彈簧上作簡諧振動、單擺振動、無線電電子振盪器的電子振盪等，大多可以表述為：
f(x)=a sin(ωt+ψ)
這裡t表示時間，a表示振幅，ω為角頻率，ψ為初相(與考察時設定原點位置有關)。
然而，世界上許多週期訊號並非正弦函式那麼簡單，如方波、三角波等。傅葉裡就想，能否用一系列的三角函式an sin(nωt+ψ)之和來表示那個較複雜的週期函式f(t)呢?因為正弦函式sin可以說是最簡單的週期函式了。於是，傅利葉寫出下式：(關於傅利葉推導純屬猜想)。我們先假設是可以的，然後一步一步證明。
這裡，t是變數，其他都是常數。與上面最簡單的正弦週期函式相比，5式中多了乙個n，且n從1到無窮大。這裡f(t)是已知函式，也就是需要分解的原週期函式。從公式5來看，傅利葉是想把乙個週期函式表示成許多正弦函式的線性疊加，這許許多多的正弦函式有著不同的幅度分量(即式中an)、有不同的週期或說是頻率(是原週期函式的整數倍，即n)、有不同的初相角(即ψ)，當然還有一項常數項(即a0)。要命的是，這個n是從1到無窮大，也就是是乙個無窮級數。
應該說，傅利葉是乙個天才，想得那麼複雜。一般人不太會把乙個簡單的週期函式弄成這麼乙個複雜的表示式。但傅利葉認為，式子右邊一大堆的函式，其實都是最簡單的正弦函式，有利於後續的分析和計算。當然，這個式能否成立，關鍵是級數中的每一項都有乙個未知係數，如a0、an等，如果能把這些係數求出來，那麼5式就可以成立。當然在5式中，唯一已知的就是原週期函式f(t),那麼只需用已知函式f(t)來表達出各項係數，上式就可以成立，也能計算了。
於是乎，傅利葉首先對式5作如下變形：
這樣，公式5就可以寫成如下公式6的形式：
這個公式6就是通常形式的三角級數，接下來的任務就是要把各項係數an和bn及a0用已知函式f(t)來表達出來。
這是為下一步傅利葉級數展開時所用積分的準備知識。乙個三角函式系：1，cosx , sinx , cos2x , sin2x , … , cosnx , sinnx , … 如果這一堆函式(包括常數1)中任何兩個不同函式的乘積在區間[-π, π]上的積分等於零，就說三角函式繫在區間[-π, π]上正交，即有如下式子：
以上各式在區間[-π, π]的定積分均為0，第1第2式可視為三角函式cos和sin與1相乘的積分;第3-5式則為sin和cos的不同組合相乘的積分式。除了這5個式子外，不可能再有其他的組合了。注意，第4第5兩個式中，k不能等於n，否則就不屬於「三角函式系中任意兩個不同函式」的定義了，變成同一函式的平方了。但第3式中，k與n可以相等，相等時也是二個不同函式。下面通過計算第4式的定積分來驗證其正確性，第4式中二函式相乘可以寫成：
可見在指定[-π, π]的區間裡，該式的定積分為0。其他式也可逐一驗證。
先把傅利葉級數表示為下式，即⑥式：
對⑥式從[-π, π]積分，得：
這就求得了第乙個係數a0的表示式，即最上邊傅利葉級數公式裡的②式。接下來再求an和bn的表示式。用cos(kωt)乘⑥式的二邊得：
至此，已經求得傅利葉級數中各係數的表示式，只要這些積分都存在，那麼⑥式等號右側所表示的傅利葉級數就能用來表達原函式f(t)。上述過程就是整個傅利葉級數的推導過程。事實上，如果能夠寫出⑥式，不難求出各個係數的表示式，關鍵是人們不會想到乙個週期函式竟然可以用一些簡單的正弦或余弦函式來表達，且這個表示式是乙個無窮級數。這當然就是數學家傅利葉的天才之作了，我等只有拼命理解的份了。
綜上，傅利葉級數的產生過程可以分為以下三步，如下：
1、設想可以把乙個週期函式f(t)通過最簡單的一系列正弦函式來表示，即5式;
2、通過變形後用三角級數(含sin和cos)來表示;
3、通過積分，把各未知係數用f(t)的積分式來表達;
4、最後得到的4個表示式就是傅利葉級數公式。
在電子學中，傅利葉級數是一種頻域分析工具，可以理解成一種複雜的週期波分解成直流項、基波(角頻率為ω)和各次諧波(角頻率為nω)的和，也就是級數中的各項。一般，隨著n的增大，各次諧波的能量逐漸衰減，所以一般從級數中取前n項之和就可以很好接近原週期波形。這是傅利葉級數在電子學分析中的重要應用。
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