動態規劃揹包問題 Knapsack

2018-03-15 13:11:12

揹包問題（knapsack problem）是一種組合優化的np完全問題。問題可以描述為：給定一組物品，每種物品都有自己的重量和**，在限定的總重量內，我們如何選擇，才能使得物品的總**最高。問題的名稱**於如何選擇最合適的物品放置於給定揹包中。

相似問題經常出現在商業、組合數學，計算複雜性理論、密碼學和應用數學等領域中。

一、0/1揹包問題

揹包問題是個npc問題，01揹包可以通過動態規劃演算法在偽多項式時間內給出解。

0/1揹包問題的特點是，每種物品僅僅有一件，且需要選擇放或者不放。

在0/1揹包問題中，物品i或者被裝入揹包，或者不被裝入揹包，設xi表示物品i裝入揹包的情況，則當xi=0時，表示物品i沒有被裝入揹包，xi=1時，表示物品i被裝入揹包。根據問題的要求，有如下約束條件和目標函式：

於是，問題歸結為尋找乙個滿足約束條件式2.1，並使目標函式式2.2達到最大的解向量x=(x1, x2, …, xn)。

0/1揹包問題可以看作是決策乙個序列(x1, x2, …, xn)，對任一變數xi的決策是決定xi=1還是xi=0。在對xi-1決策後，已確定了(x1, …, xi-1)，在決策xi時，問題處於下列兩種狀態之一：

（1）揹包容量不足以裝入物品i，則xi=0，揹包不增加價值；

（2）揹包容量可以裝入物品i，則xi=1，揹包的價值增加了vi。

這兩種情況下揹包價值的最大者應該是對xi決策後的揹包價值。令v(i, j)表示在前i(1≤i≤n)個物品中能夠裝入容量為j（1≤j≤c）的揹包中的物品的最大值，則可以得到如下動態規劃函式：

式2.3表明：把前面i個物品裝入容量為0的揹包和把0個物品裝入容量為j的揹包，得到的價值均為0。

式2.4的第乙個式子表明：如果第i個物品的重量大於揹包的容量，則裝入前i個物品得到的最大價值和裝入前i-1個物品得到的最大價值是相同的，即物品i不能裝入揹包；第二個式子表明：如果第i個物品的重量小於揹包的容量，則會有以下兩種情況：

（1）如果把第i個物品裝入揹包，則揹包中物品的價值等於把前i-1個物品裝入容量為j-wi的揹包中的價值加上第i個物品的價值vi；

（2）如果第i個物品沒有裝入揹包，則揹包中物品的價值就等於把前i-1個物品裝入容量為j的揹包中所取得的價值。顯然，取二者中價值較大者作為把前i個物品裝入容量為j的揹包中的最優解。

舉個例子：

例如，有5個物品，其重量分別是，價值分別為，揹包的容量為10。

根據動態規劃函式，用乙個(n+1)×(c+1)的二維表v，v[i][j]表示把前i個物品裝入容量為j的揹包中獲得的最大價值。

第一階段，只裝入前1個物品，確定在各種情況下的揹包能夠得到的最大價值；

第二階段，只裝入前2個物品，確定在各種情況下的揹包能夠得到的最大價值；

依此類推，直到第n個階段。最後，v(n,c)便是在容量為c的揹包中裝入n個物品

時取得的最大價值。

如何確定裝入揹包的具體物品？

從v(n,c)的值向前推，如果v(n,c)>v(n-1,c)，表明第n個物品被裝入揹包，前n-1個物品被裝入容量為c-wn的揹包中；否則，第n個物品沒有被裝入揹包，前n-1個物品被裝入容量為c的揹包中。依此類推，直到確定第1個物品是否被裝入揹包中為止。由此，得到如下函式：

}另外，在初始化的時候，如果是題目沒有要求必須得最終裝滿揹包，則直接使用上述**即可，如果題目中指出必須裝滿揹包，則在初始化的時候，除了v[0][0] = 0外，其餘的0件物品，j個重量，抑或j個重量，0件物品都是不滿足裝滿揹包的條件的，應該初始化為負無窮大。

二、完全揹包問題

完全揹包問題同樣給出了n件物品的重量和價值，並且給出了揹包的大小w，但是和0/1揹包不同的是，在完全揹包問題中，每件物品可以選1，2，3...直到揹包放不下為止。

完全揹包是0/1揹包問題的乙個擴充套件，也同樣是乙個非常經典的問題。

運用模擬的思想，我們可以將完全揹包轉化成0/1揹包，具體的轉化可以有下面兩種方式：

1、將每件物品看成w/w[i]件，價值不變；

2、將每件物品看成v[i]*2^k，重量為w[i]*2^k，想法就是利用二進位制的角度看問題，任何多種選擇都可以通過這些二進位制數相加得到，這種方法的分解個數顯然要小很多，非常聰明。

如果從遞推式的角度來解決問題，可以得到乙個非常好的解答：

v[i][j] = max

對於每乙個v[i][j]都可以看成要麼不選擇第i件，要麼選擇第i件且可以多選，那麼就可以很容易的得到上述的遞推式。

下面使用一維陣列進行實現，你會發現除了內層的順序變了，其他的都沒有改變。

static int polish(int v, int w, int w)
}return m[w];
}

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