戴德金整環
前一章研究了\(\dim d = 0\)的諾特環即阿廷環。本章研究一種\(\dim d = 1\)的諾特環：戴德金整環，它是主理想整環(pid)概念的誇張。戴德金整環被定義為滿足\(\dim d = 1\)的諾特整閉整環。我們知道諾特環上的理想都有準素分解，而戴德金整環的理想不僅有唯一的準素分解，還唯一的分解稱素理想之積。
賦值環
設\(k\)是域，\(k\)上的賦值是\(k^*\)到有序群\(\gamma\)的滿射\(v\)，滿足
\[v(xy) = v(x) + v(y)
\]\[v(x + y) \geq \min(v(x), v(y)), 當v(x)\neq v(y)時取等號
\]我們發現所有\(v(a) \geq 0\)的元素\(a\)組成乙個整環\(d\)，稱為\(k\)上的賦值環。賦值環還有另一種等價定義：整環\(d\)中任取\(x\neq 0 \in k\)，要麼\(x \in d\)，要麼\(x^ \in d\)。
如果我們取\(\gamma = \mathbb\)，則稱\(d\)為離散賦值環。離散賦值環等價於戴德金區域性環。例如：
\(\mathbb\)是離散賦值環，我們可以這樣構造乙個賦值：取\(x\in \mathbb^*\)以及素數\(p\)，我們可以唯一寫出\(x = p^a y\)，其中\(y\)的分子分母都與\(p\)互素，我們發現\(v_p(x) = a\)就是乙個賦值。
\(\mathbb[x, y]\)是離散賦值環，我們可以這樣構造乙個賦值：對任意\(f(x, y) \in \mathbb[x, y]^*\)，在\(x = 0\)處對\(f(x, e^x)\)進行洛朗展開\(f(x, e^x) = c_n x^n + c_x^+ \cdots\)，其中\(c_n \neq 0\)，我們發現\(v(f) = n\)就是乙個賦值。
分式理想
設\(a\)為整環，\(a\)的分式理想是\(a\)的分式域\(k\)的非零有限生成的\(a\)子模，如果這個子模由\(k\)的單個元素生成，就稱其為主分式理想（注意這裡的生成元屬於\(k\)而非\(a\)，否則就與理想沒區別了）。對於分式理想\(i\)，當存在分式理想\(j\)使得\(ij = a\)時，則稱\(i\)時可逆的。所有可逆分式理想全體\(d(a)\)關於積形成乙個交換群，單位元為\(a\)，\(i\in d(a)\)的逆元由\(i^ = \\)給出。當\(a\)是戴德金環時，我們有：
\(a\)的任意分式理想\(i\)都可逆。
\(a\)的任意分式理想\(i\)都可分解為\(\prod p^i\)，其中\(p\subset a\)為素理想。
對映\(k^* \to d(a)：a\to (a)\)是乙個群同態，其核為\(a^*\)，其餘核\(\text(a) = \/\\)稱為理想類群。a為pid等價於\(\text(a) = 0\)。
我們看一些例題：
戴德金整環的分式環要麼是戴德金整環、要麼是域。
我們知道整閉整環的分式環是整閉整環，諾特環的分式環是諾特環。我們唯一需要證明的是\(\dim s^a \leq 1\)。設\(a\)的最長素理想鏈是\((0) \subsetneq p\)，根據分式環的性質\(s^a\)最長素理想鏈不會超過\((0) \subsetneq s^p\)。
乙個非域的賦值環是諾特環當且僅當它是離散賦值環。
必要性顯然。充分性：我們知道賦值環是區域性環又是整閉整環，我們只需證明\(\dim a \leq 1\)。我們知道\(a\)的任何兩個理想\(a, b\)，要麼\(a \subset b\)要麼\(b \subset a\)，並且由於是諾特環，\(a\)的理想是有限生成的，因此\(a\)有唯一的理想鏈\((0)\subset (p) \subset (m)\)。
我們取\(a\)滿足\(am = p\)，因此要麼\(m \in (p)\)要麼\(a \in (p)\)，如果是前者那麼\((m) = (p)\)，如果是後者我們可以再取\(b\)滿足\(bp = a\)，因此\((1 - bm)p = 0\)，因為\((m)\)不含單位元，\((1 - bm)\neq 0\)，從而\((p) = (0)\)。
設\(a\)是乙個非域的區域性整環，它的極大理想\(m\)是主理想且\(\bigcap_^\infty m^n = 0\)，則\(a\)是離散賦值環。
令\(a\)的極大理想是\(m = (p)\)則\(\bigcap_^\infty (p^n) = 0\)，因此任取\(x\neq 0 \in a\)必定存在\(x \not \in (p^k)\)，令\(v(x) = \min\\)，我們證明\(v(x)\)是賦值。
首先，我們知道存在\(a \in (p^), b \in (p^)\)滿足\(xy = ap^bp^ = abp^ \rightarrow v(xy) = v(x)v(y)\)
其次，當\(v(x) = v(y)\)時，對於任意\(i < v(x) = v(y)\)，\(x \in p^ \wedge y \in p^ \rightarrow x + y \in p^\)，因此\(v(x + y) \geq v(x) = v(y)\)
最後，當\(v(x) > v(y) = j\)時，\(x \in p^ \wedge y \not \in p^ \rightarrow x + y \not \in p^\)，因此\(v(x + y) \geq v(y)\)。
綜上，\(a\)是離散賦值環。
戴德金整環每個理想至多由2個元素生成。
任取戴德金整環\(a\)的主理想\((a)\)，我們證明\(a/(a)\)是主理想整環。設\((a)\)可以分解成素理想的乘積\((a) = \prod p_i^\)，因而其商環也滿足\(a/(a) \cong \prod a/p_i^\)。再考慮商環\(a/(a)\)中的每個理想\(b\)，對於每個\(i\)都滿足\(b = p_i^ + b_i\)。根據中國剩餘定理，\(b\)是主理想，\(a = (a, b)\)。
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