根理想
我們考慮環\(a\)上的理想\(i\)，以及自然同態\(\pi: a \to a/i\)，它將
\[\sqrt = \
\]對映到冪零根\(\mathfrak(a/i)\)，我們稱\(\sqrt\)是\(i\)的根理想。
代數簇
考慮由環\(a = \mathbb[x_1, x_2,\dots,x_n]\)的理想\(i = (f_1, f_2, \dots, f_m)\)，理想中多項式的公共零點組成的集合\(v(i)\)稱為乙個代數簇。也即\(\forall f\in i, (a_1, a_2,\dots, a_n) \in v(i): f(a_1, a_2,\dots, a_n) = 0\)。同時，\(m = (x_1 - a_1, x_2 - a_2,\dots, x_n - a_n)\)是\(a\)中包含的極大理想，因此\(v(i)\)對應於所有包含\(i\)的極大理想。
我們知道希爾伯特零點定理的一般形式：若\(r\)是域上有限生成代數，則\(\mathfrak(r) = \mathfrak(r)\)。我們取\(r = a/i\)就得到：對任意\(m\in v(i)\)都有\(f \in m\)當且僅當\(f \in \sqrt\)。用代數簇的語言說就是：
對於一組多項式\(f_1, f_2, \dots, f_m\)的任何公共零點\((a_1, a_2,\dots, a_n)\)，\(f\)都滿足\(f(a_1, a_2,\dots, a_n) = 0\)，當且僅當存在正整數\(r > 0\)以及多項式\(g_1, g_2, \dots g_m\)使得\(f^r = g_1f_1 + g_2f_2 + \dots + g_mf_m\)。
這是代數幾何的起點。
扎里斯基拓撲
我們現在將\(v(i)\)的一般形式推廣到素理想上。設\(\text(a)\)是環\(a\)全體素理想的集合，對於每個集合\(i \subset a\)，包含\(i\)的所有素理想\(v(i) \subset \text(a)\)滿足拓撲空間閉集的性質，構成\(x\)上的扎里斯基拓撲，拓撲空間\(\text(a)\)稱為環的譜。例如
我們看以下例題：
\(\text(a)\)是緊豪斯多夫空間。
我們令\(a\in a\)，\(x_a = \text(a) - v(a) = v(1-a)\)是\(\text(a)\)上的既開又閉的集合，所有\(x_a\)構成扎里斯基拓撲的基。
我們考慮\(\text(a) = \bigcup_a x_a = \text(a) - \bigcap_a v(a)\)也即\(\bigcap_a v(a) = \varnothing\)。由於\(v(a) \bigcap v(1-a) = \varnothing\)，因此\(\bigcup_a x_a\)有有限子覆蓋，從而\(\text(a)\)是緊空間。
任取\(p_1 \neq p_2 \in \text(a)\)，可以找到\(a\)滿足\(p_1 \in x_a, p_2 \in x_\)，從而\(a\not \in p_1, a \in p_2\)，也即\(\text(a)\)是緊豪斯多夫空間。
\(a\)的冪零根是素理想，當且僅當\(\text(a)\)不可約，也即每一對非空開子集都相交。
\(\text(a)\)可約即存在\(a, b \in a - \mathfrak\)滿足\(v(a) \bigcup v(b) = v(ab) = \text(a)\)，也即\(ab \in \mathfrak\)。反過來，\(\text(a)\)不可約即對任意\(a, b \in a - \mathfrak\)都有\(ab \not \in \mathfrak\)
而\(\mathfrak\)是素理想的定義是如果\(ab \in \mathfrak\)，要麼\(a\in \mathfrak\)，要麼\(b\in \mathfrak\)，這是「不可約」的逆否命題，因而等價。
若\(f: a \to b\)是環的整同態，則\(f^*: \text(b)\to \text(a)\)是閉對映。
任取\(b\)中的素理想\(b\)，由於\(f\)是整同態，因此\(f^(b)\)也是素理想。\(v(b)\)是\(\text(b)\)的閉集，則\(f^*(v(b)) = v(f^(b))\)是閉集，所以\(f\)是閉對映。
若\(\text(a)\)有2個連通分支，則存在\(a\)使得\(a^2 = a\)。
存在性：設\(v(i_1), v(i_2)\)是兩個連通分支。由\(v(i_1) \bigcap v(i_2) = \varnothing\)得\(i_1 + i_2 = a\)，由\(v(i_1) \bigcup v(i_2) = \text(a)\)得\(i_1 i_2 = \mathfrak\)。我們可以取\(a_1\in i_1, a_2 \in i_2\)，則存在正整數\(n\)滿足\((a_1a_2)^n = 0\)，也即理想之積\((a_1^n)(a_2^n) = 0\)。根據這個性質我們展開
\[1 = (a_1 + a_2)^ = a_1^n\left[\binoma_1^ + \dots + \binoma_2^\right] + a_2^n\left[\binoma_1^ + \dots + \binoma_2^\right]
\]我們設前一項為\(a\)，顯然\(a\in (a_1^n), 1- a \in (a_2^n)\)，因此\(a(1- a ) = 0\)即\(a^2 = a\)。
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