無限大平面附件的柔性高分子鏈
如上圖所示，高分子鏈一端位於距離平面\(l\)處，另一端座標為\(z\)，設高分子鏈鏈節大小\(b\)，高分子鏈鏈長為\(n_c\)，則高分子鏈構象配分函式為
\begin
\begin
g(l,z)=&\sqrt}\left (\exp\left [-\frac \right ] - \exp\left [-\frac \right ] \right )\\
=&\fracr_g}\left (\exp\left [-\frac \right ] - \exp\left [-\frac \right ] \right )
\end
\label
\end
其中，\(r_g=\sqrt}b\)，為柔性鏈的迴轉半徑。
配分函式為
\begin
\begin
\mathcal z=&\int_0^\infty g(l,z)\mathrm dz\\
=&\fracr_g}\int_0^\infty \exp\left [-\frac \right ] \mathrm dz\\
&-\fracr_g}\int_0^\infty \exp\left [-\frac \right ] \mathrm dz \\
=&\frac}\int_^\infty \exp\left (-t^2\right ) \mathrm dt \quad \left (\mathrm \quad t=\frac\right )\\
&-\frac}\int_^\infty \exp\left (-t^2\right ) \mathrm dt \quad \left (\mathrm \quad t=\frac\right )\\
=&\frac}\int_^0 \exp\left (-t^2\right ) \mathrm dt + \frac}\int_0^\infty \exp\left (-t^2\right ) \mathrm dt \\
&- \left ( \frac}\int_0^\infty \exp\left (-t^2\right ) \mathrm dt -\frac}\int_0^ \exp\left (-t^2\right ) \mathrm dt \right )\\
=&\frac}\int_^0 \exp\left (-t^2\right ) \mathrm dt + \frac}\int_0^ \exp\left (-t^2\right ) \mathrm dt\\
=&\frac}\int_0^ \exp\left (-t^2\right ) \mathrm dt\\
=&\mathrm \left (\frac\right )
\end
\label
\end
上式用到了誤差函式：
\begin
\mathrm (x) = \frac} \int_0^x \exp(-t^2) \mathrm dt = \frac} \int_^0 \exp(-t^2) \mathrm dt
\label
\end
自由能為
\begin
\frac = -\ln \mathcal = -\ln \mathrm \left (\frac\right )= -\ln \mathrm \left (\sqrt}\frac\right )
\label
\end
無限大平面附近的柔線——硬棒雙嵌段高分子鏈
如上圖所示，硬棒——柔線（rod-coil）柔線一端位於距離受限壁\(l\)處，硬棒可以自由旋轉，並忽略硬棒與柔線的相互作用。設硬棒和柔線的鏈長分別為\(n_d\)和\(n_c\)，兩嵌段庫恩長度相等，均為\(b\)。構象分布為：
\begin
\begin
g(l,z,\theta)=&\sqrt}\left (\exp\left [-\frac \right ] - \exp\left [-\frac \right ] \right )\\
&\frac\exp\left [ -u(z,\theta) \right ]\\
=&\frac\exp\left [ -u(z,\theta) \right ]g(l,z)
\end
\label
\end
其中\(\theta\)為硬棒與\(z\)軸夾角，硬棒與受限壁相互作用為
\begin
u(z,\theta)=
\begin
0,&\theta \lt \pi-\arccos}, or \quad z \ge n_d b \\\\
\infty, & \theta \ge \pi-\arccos} ,and \quad z \le n_d b
\end
\label
\end
配分函式為：
\begin
\begin
\mathcal z&=\int_0^\infty \mathrm dz g(l,z,\theta)\int_0^\pi \mathrm d\theta \frac\exp\left [ -u(z,\theta) \right ]\sin \theta \\\\
&=\int_0^ \mathrm dz g(l,z,\theta)\int_0^\pi \mathrm d\theta \frac\exp\left [ -u(z,\theta) \right ]\sin \theta + \int_^\infty \mathrm dz g(l,z)\\\\
&=\int_0^ \mathrm dz g(l,z) \frac + \int_^\infty \mathrm dz g(l,z)\\\\
&=\int_0^\infty \mathrm dz g(l,z)-\frac\int_0^ \mathrm dz g(l,z) +\frac\int_0^ z g(l,z) \mathrm dz \\\\
&=\mathrm \left (\sqrt}l\right )-\fraci_1+\fraci_2
\end
\label
\end
下面計算\(i_1\)：
\begin
\begin
\int_0^ \mathrm dz g(l,z)= &\fracr_g}\int_0^ \mathrm dz \exp\left [-\frac \right ]\\
&-\fracr_g}\int_0^ \mathrm dz \exp\left [-\frac \right ] \\
=& \frac}\int_^ \exp(-t^2)\mathrm dt \\
&-\frac}\int_^ \exp(-t^2)\mathrm dt\\
=& \frac}\int_^0 e^\mathrm dt +\frac}\int_0^ e^\mathrm dt
\\&-\frac}\int_0^ e^\mathrm dt + \frac}\int_0^ e^\mathrm dt\\
=&\mathrm \left (\frac\right )+\frac\mathrm \left (\frac\right )-\frac\mathrm \left (\frac\right )
\end
\label
\end
下面計算\(i_2\)：
\begin
\begin
\int_0^ zg(l,z) \mathrm dz = &\fracr_g}\int_0^ z\exp\left [-\frac \right ] \mathrm dz\\
&-\fracr_g}\int_0^ z\exp\left [-\frac \right ] \mathrm dz\\
=& \frac}\int_^ (2r_gt+l)\exp(-t^2)\mathrm dt \\
&-\frac}\int_^ (2r_gt-l)\exp(-t^2)\mathrm dt\\
=&\frac}\left \ \right )^2 \right ] - \exp\left [-\left ( \frac \right )^2 \right ]\right \}\\
&+\frac} \int_^ \exp(-t^2)\mathrm dt \\
&-\frac}\left \ \right )^2 \right ] - \exp\left [-\left ( \frac \right )^2 \right ]\right \}\\
&+\frac} \int_^ \exp(-t^2)\mathrm dt\\
=& \frac}\left \ \right )^2 \right ]-\exp\left [-\left ( \frac \right )^2 \right ]\right \}\\
&+\frac} \int_^ \exp(-t^2)\mathrm dt\\
&+ \frac} \int_^ \exp(-t^2)\mathrm dt\\
=& \frac}\left \ \right )^2 \right ]-\exp\left [-\left ( \frac \right )^2 \right ]\right \} \\
&+\frac\mathrm \left (\frac\right )+\frac\mathrm \left (\frac\right )
\end
\label
\end
自由能為：
\begin
\frac(l,n_d,n_c)} = -\ln \left [ \mathrm \left (\sqrt}l\right )-\fraci_1+\fraci_2 \right ]
\label
\end
高分子高斯鏈
如前所述，忽略長程相互作用的模型給出的鏈的總體統計性質不依賴於鏈的細節。因此，要得到鏈的整體描述，我們可以採用數學上盡可能簡單的模型。前面講的格仔模型就是乙個好的例子。高分子的各種非格仔模型中，高斯鏈模型在數學上最為簡單。該模型認為，鍵向量 mathbf r 本身也是柔性的，並符合高斯統計 begi...
高分子理想鏈的隨機行走模型
原文 m.doi,introduction to polymer physics,1.1.1 random walk model 高分子鏈有大量的內部自由度，例如，聚乙烯分子中繞每個c c鍵的都有乙個轉動自由度，所以高分子能夠取很多種不同的構象，具有很高的柔順性，因此我們可以將一根高分子鏈模型化成一...
高分子鏈的自避隨機行走模型
原文 m.doi,introduction to polymer physics,1.1.2 the effect of short range interactions 在前面的高分子格仔隨機行走模型中，每個鍵的取向是完全是隨機的，並且與前面相鄰的鍵的取向是完全無關的。即高分子可以折回它已經佔據的...