原文：m. doi, introduction to polymer physics,1.1.2 the effect of short-range interactions
在前面的高分子格仔隨機行走模型中，每個鍵的取向是完全是隨機的，並且與前面相鄰的鍵的取向是完全無關的。即高分子可以折回它已經佔據的格點，這在物理上當然是不可能的。乙個初步的補救方法是，不允許高分子往回折，即鍵向量\(\mathbf r_\)取向不可以是\(-\mathbf r_n\)，只能隨機從餘下\(z-1\)個取向中選乙個取向。因此，在這個修正的模型中，\(\mathbf r_n\)已確定的情況下，\(\mathbf r_\)平均值\(\langle \mathbf r_ \rangle_\)不是0，而是滿足如下關係
\begin
0=\sum_^z\mathbf b_i=(z-1)\langle \mathbf r_ \rangle_-\mathbf r_n
\tag\label
\end
因此有\begin
\langle \mathbf r_ \rangle_=\frac
\tag\label
\end
於是可得\(\langle \mathbf r_ \cdot \mathbf r_n \rangle =b^2/(z-1)\)，同樣地，我們可以計算\(\langle \mathbf r_ \cdot \mathbf r_n \rangle\)。給定\(\mathbf r_\)，有
\begin
\begin
\langle \mathbf r_ \cdot \mathbf r_n \rangle =& \langle \langle \mathbf r_ \rangle_} \cdot \mathbf r_n \rangle =\frac\langle \mathbf r_ \cdot \mathbf r_n \rangle \\
=& \frac
\end
\end
重複這一過程，可得如下一般性的結果
\begin
\langle \mathbf r_ \cdot \mathbf r_m \rangle = \frac}
\tag\label
\end
現在可以計算方均末端距：
\begin
\langle \mathbf r^2 \rangle = \sum_^n\sum_^n\langle \mathbf r_ \cdot \mathbf r_m \rangle = \sum_^n\underline^\frac}}
\tag\label
\end
如果\(n\)非常大，上式中劃線部分，對於幾乎所有的\(n\)，\(k\)的範圍可換為從\(-\infty\)到\(\infty\)，即\eqref式變為
\begin
\langle \mathbf r^2 \rangle = \sum_^n\sum_^\frac}=nb^2\frac
\tag\label
\end
因此，修正後的模型仍然得到方均末端距\(\langle \mathbf r^2 \rangle\)正比於\(n\)這一結論。
一般情況下，鍵之間相互作用的作用範圍是有限的。如果一根鍵在鏈上只與\(n_c\)個近鄰的鍵之間有相互作用，那麼系統總勢能可寫為
\begin
u_} = \sum_u(\mathrm r_n,\mathrm r_,\cdots,\mathrm r_)
\tag\label
\end
對於比較大的\(|n-m|\)，\(\langle \mathbf r_n \cdot \mathbf r_m \rangle\)隨\(|n-m|\)指數衰減。（這是具有有限作用力程的一維系統的共同性質）。對於這樣的系統，當\(n\)比較大時，\(\langle \mathbf r^2 \rangle\)總是正比於\(n\)的，並且\(\langle \mathbf r \rangle\)的分布為高斯分布。從這個意義上說，具有\eqref式形式的勢能的高分子模型，與隨機行走模型等價，這樣的高分子鏈叫做理想鏈模型。理想鏈的方均末端距可寫為
\begin
\langle \mathbf r^2 \rangle = nb_}^2
\tag\label
\end
其中\(b_}\)叫做等效鍵長。為簡便起見，我們把\(b_}\)記作\(b\)。
只有近鄰鏈節之間有相互作用，如\eqref式所描述的相互作用，稱作短程相互作用。注意，這裡的「短程」的程指沿著鏈的距離（即上文中的\(|n-m|\)），不是空間距離。（實際上，高分子之間的相互作用力程只有幾奈米，與小分子類似）
對於真實高分子，兩鏈節只要碰巧在空間上挨得很近，就會有相互作用，即使沿著鏈上相距甚遠。這種相互作用只與空間距離有關，與沿著鏈的距離無關，叫做長程相互作用。這裡長程的程也是指沿著鏈的距離。長程相互作用的乙個例子是排除體積相互作用，即任意兩個鏈節不能佔據空間同一點的相互作用。後面我們將會看到，引入長程相互作用將會使高分子鏈的統計性質顯著偏離理想鏈的行為。要點是，理想鏈模型只考慮近程相互作用，忽略遠端相互作用。
高分子高斯鏈
如前所述，忽略長程相互作用的模型給出的鏈的總體統計性質不依賴於鏈的細節。因此，要得到鏈的整體描述，我們可以採用數學上盡可能簡單的模型。前面講的格仔模型就是乙個好的例子。高分子的各種非格仔模型中，高斯鏈模型在數學上最為簡單。該模型認為，鍵向量 mathbf r 本身也是柔性的，並符合高斯統計 begi...
高分子理想鏈的隨機行走模型
原文 m.doi,introduction to polymer physics,1.1.1 random walk model 高分子鏈有大量的內部自由度，例如，聚乙烯分子中繞每個c c鍵的都有乙個轉動自由度，所以高分子能夠取很多種不同的構象，具有很高的柔順性，因此我們可以將一根高分子鏈模型化成一...
受限壁附近高分子鏈的構象統計
無限大平面附件的柔性高分子鏈 如上圖所示，高分子鏈一端位於距離平面 l 處，另一端座標為 z 設高分子鏈鏈節大小 b 高分子鏈鏈長為 n c 則高分子鏈構象配分函式為 begin begin g l,z sqrt left exp left frac right exp left frac righ...