這篇文章是從我的另外一篇文章：基礎演算法：貪心中分離出來的。
因為證明過程比較長。。。
設集合\(a\)中有\(n\)個元素，將其中每個元素進行編號為\(a_x\)
\(\left ( x\in \left [ 1,n \right ] \right )\) :
\[\begin
a=\begin
a_1,&a_2, &a_3, &\cdot &\cdot &\cdot &a_, &a_n
\end
\end
\]1.若\(a\)是一條遞增序列，則刪除最後乙個數，其代表的數值\(s_a\)最小。
首先，將\(s_a\)通過\(a\)表示：
\[\begin
s_a=a_1\times 10^+a_2\times 10^+\cdot \cdot \cdot +a_\times10+a_n
\end
\]若刪去最後乙個數，序列\(a\)變為\(a'\)，記新表示的數為\(s_\)，則：
\[\begin
s_=a_1\times 10^+a_2\times 10^+\cdot \cdot \cdot +a_\times10+a_
\end
\]若所刪除的數，不是最後乙個數\(a_n\)，而是任意乙個數\(a_q\)，序列\(a\)變為\(a''\)，記新表示的數為\(s_\)，則：
\[\begin
s_=a_1\times 10^+a_2\times 10^+\cdot \cdot \cdot +a_\times10^+a_\times10^ \cdot\cdot \cdot +a_\times10+a_
\end
\]然後觀察兩式，可以看出來：\(s_\) 與\(s_\)前\(q\)項是相同的，故作差：
\[\begin
s_-s_=\left ( a_q-a_ \right )\times10^+\left ( a_-a_ \right )\times10^ \cdot\cdot \cdot +\left ( a_-a_ \right )\times10+\left ( a_-a_n \right )
\end
\]因為，序列\(a\)是遞增的，所以：
\[\begin
a_q\leq a_\leq a_\cdot \cdot \cdot a_\leq a_n
\end
\]即：
\[\begin
a_q-a_\leq0, a_-a_\leq0, \cdot \cdot \cdot a_-a_n\leq 0
\end
\]所以：\(s_-s_\leq0\)，所以\(s_ \leq s_\)
所以，若\(a\)是一條遞增序列，則刪除最後乙個數，其代表的數值\(s_a\)最小。
2.若\(a\)是一條遞減序列，則刪除第乙個數，其代表的數值\(s_a\)最小。
證明方法與 1 同理。
3.由1,2可以猜想：如果\(a\)中存在\(a_1-a_i\)為單調增，\(a_-a_n\)為單調減。
單調增的部分，應該刪去最後乙個數。單調減的部分，應該刪去最初乙個數。
我們會發現，這兩個結論其實是統一的：如下圖，應該刪去折點所表示的數，也就是「山峰」。
如果我們刪除乙個數\(a_q\)，位於\(a_q\)之前的數就會往後一位，得到\(s_\)
如果我們刪除「山峰」\(a_i\)，位於\(a_i\)之前的數就會往後一位，得到\(s_\)
對比兩圖可以發現：\(s_-s_\)後，黃顏色框中的部分便消去了。即得到與 1證明 中類似的差值。
即\(s_\leq s_\)。
所以，若\(a\)不存在單調性，則刪除「山峰」，其代表的數值\(s_a\)最小。
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