Dijkstra演算法正確性證明

問題：求圖中點1到其他各點的最短距離

策略:1.把起點1放入初始集合set中，從剩餘的點中，選取到set(此時set中只有1個點)距離最近的點，併入集合set中，

2.從剩餘的點中，找經過集合set，到起點1的最短距離，將最短邊併入set集合

3.依次迴圈，直到所有的邊都併入set

變數的命名：

set=      //已找到start（本例中是1點）到1,2,,,,,x的最短路徑的點的集合set

dist[u]：             //從start點開始，經過set中的點，到u點的最短距離

short[u]:             //從start開始到u的全域性最短路徑（不一定經過set中的點）

可知short[u] <= dist[u]

證明過程：

命題：演算法進行到第k步時，set中的每個節點set_i的dist[set_i]等於全域性最短路徑short[set_i]

(第n步時，dist[n]=short[n]，此時找到點1到所有點的最短距離)

歸納基礎：

k=1，set= => dist[start_point] == short[start_point] ==0，命題正確

歸納假設：

第k步成立，則第k+1步成立

設k+1步選擇了頂點v(v是剩餘集合中，經過set到start_point距離最近的點)

該頂點與set中的u點相連， 欲證dist[v] == short[v]

反證法:假設命題不正確，即：存在start_point到點v的更短路徑 l（綠色部分）為最短路徑short[v]，

該路徑經過集合中的最後乙個點為last_point,經過未收錄集合的點集 uncollected_point_set中的，任1個或者多個點到達v.

本例以單點y為例，多點同理:(v和last_point不可能直接相連，若直接相連，因為dist[v]最後一點經過u,且為最短,此時l必然》=dist[v]，不是更短路徑)

此時 l == dist[y] + distance[y, v] == short[v]

由題意知，dist[v] <= dist[y]

=>

dist[v] <= l  == short[v]

dist[v]是相對於l更短的路徑=>假設不成立，不存在更短的路徑l為全域性最短路徑，第k+1步選擇的點即為全域性最短路

=>

命題成立！

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