某種 找換硬幣問題的貪心演算法的正確性證明

一，問題介紹

最近一直在看貪心演算法的正確性證明（如何證明貪心演算法獲得的解一定是最優解），感覺「剪枝」技巧用得比較多。再看了下《演算法導論》中貪心演算法一章裡面的乙個練習---找換硬幣問題。這個問題對於某些 面值的硬幣 是有最優解的，故記錄下其中的一些證明思路。

考慮用最少的硬幣數 來找 n 分錢的問題，假設每個硬幣的值都是整數。

如果可換的硬幣的單位是 c 的冪，也就是 c0，c1，... ，ck ,其中整數 c>1，k>=1

證明貪心演算法總可以產生乙個最優解。

二，找換硬幣的貪心策略

這裡的貪心策略很容易想到：總是優先選擇 大面值的硬幣 去找。比如，現有 1分、5分、25分的硬幣可用來找錢，現在我們需要找 n=32分 的零錢，如何找？

優先選擇大面值的嘛，那就是先選 25分；選完之後，還要找32-25=7，那就再選5分的，最終再先2個1分的。即可。

這裡：32=25+5+1+1，一共用了4枚硬幣。那麼，問題來了！！！還有沒有其他策略 只需要 3 枚硬幣？或者更少的硬幣？

這就需要證明貪心策略 有沒有 最優解了？對於這個問題而言，如果用來找換的硬幣的 面值滿足某種性質，該貪心策略是有最優解的。

這裡說的某種性質就是：可換的硬幣的單位（或者稱 面值）是 c 的冪，也就是 c0，c1，... ，ck ,其中整數 c>1，k>=1

下面給出正確性證明。

這裡需要強調一點： 硬幣面值滿足上面的性質時貪心演算法一定能產生最優解，但是不滿足時，也有可能有最優解。比如，面值為1，5，10，20，50，100時，貪心找零也一定有最優解。

三，找換硬幣的貪心演算法的正確性證明

在進行證明之前，先提乙個性質：對於最優解而言，如果使用了面值為 ci 的硬幣去找零，那麼 ci 最多只能使用 c-1 個。

因為我們的目標是使用 最少數目的硬幣，對於最優解而言，如果使用了面值為 ci 的硬幣去找零，那麼 ci 最多只能使用 c-1 個。

why?假設使用了c 個

面值為 ci+1 的硬幣去找呢？

這樣，我就可以用更少的硬幣數啊(c>1)。所以說，在最優解裡面，如果使用了面值為 ci 的硬幣去找零，那麼 面值為ci 的硬幣 最多只能使用 c-1 個。

ok，下面再次用到剪枝的思想來證明貪心選擇的正確性了。

總體思路是：先考察乙個最優解，然後證明可對該解進行修改，使其採用貪心選擇，這個選擇將原問題變成乙個相似的、但是「更小」的問題。（這裡說的「更小」是一種抽象，並不是具體意義上的更小）

k 是可找換的硬幣的種類數，n 是需要找換的價值，a(i)表示使用多少個 面值為 ci 的硬幣。假設硬幣已經按面值從小到大排序。

對於貪心選擇而言，我們一定會選擇面值為 c^j 的硬幣，因為：我們的貪心策略就是總是優先選擇 面值最大的硬幣。

我們的目標是證明，對於所有的非貪心選擇而言，它們都不可能產生最優解。

對於非貪心選擇，是不會選擇 面值為 c^j (or higher)的硬幣的。非貪心選擇使用的硬幣如下：

其中，a(i)表示使用了 a(i)個 面值為 ci 的硬幣，總數之和是n。別忘了，n 就是需要找零的數目

而對於貪心選擇而言，如果面值為 c^j 的硬幣可用（當 n>=c^j 時），我們是優先使用 面值為 c^j 的硬幣的。

因此有：

這說明，在面值為 c^j 的硬幣 可用的情況下，換句話說：在 c^j <=n 的情況下，非貪心選擇沒有使用 c^j 嘛。(選擇了的話，那就是貪心選擇了嘛...~)

這裡就會有矛盾了，根據前面提到的性質：有， a(i) <= c-1

從而，證明了貪心選擇的正確性。

再來理解下它：總體思路是：先考察乙個最優解，然後證明可對該解進行修改，使其採用貪心選擇，這個選擇將原問題變成乙個相似的、但是「更小」的問題。（這裡說的「更小」是一種抽象，並不是具體意義上的更小）

這裡的最優解是：非貪心選擇下的某個最優解，然後剪枝：將非貪心選擇下的某個元素去掉，然後添入貪心選擇的那個元素。其實就是下面的這個公式。

從而得到了乙個更優的問題。

四，參考資料

部分揹包問題的貪心演算法正確性證明

某種 找換硬幣問題的貪心演算法的正確性證明

從 活動選擇問題 看動態規劃和貪心演算法的區別與聯絡

找換硬幣問題的求解 以及與 0-1揹包問題區別

硬幣問題（典型的貪心演算法）

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