一，部分揹包問題介紹
首先介紹下0-1揹包問題。假設一共有n件物品，第 i 件物品的價值為 vi ，重量為wi，乙個小偷有乙個最多只能裝下重量為w的揹包，他希望帶走的物品越有價值越好，請問：他應該選擇哪些物品？
0-1揹包問題的特點是：對於某件（更適合的說法是：某類）物品，要麼被帶走（選擇了它），要麼不被帶走（沒有選擇它），不存在只帶走一部分的情況。
而部分揹包問題則是：可以帶走一部分。即，部分揹包問題可帶走的物品 是可以 無限細分的。（連續與離散的區別）
可以把0-1揹包問題中的物品想象的乙個金子，你要麼把它帶走，要麼不帶走它；而部分揹包問題中的物品則是一堆金粉末，可以取任意部分的金粉末
二，部分揹包問題的貪心演算法
部分揹包問題可以用貪心演算法求解，且能夠得到最優解。
貪心策略是什麼呢？將物品按單位重量 所具有的價值排序。總是優先選擇單位重量下價值最大的物品。
單位重量所具有的價值：vi / wi
舉個例子：假設揹包可容納50kg的重量，物品資訊如下：
物品 i 重量(kg) 價值 單位重量的價值
1 10 60 6
2 20 100 5
3 30 120 4
按照我們的貪心策略，單位重量的價值排序： 物品1 > 物品2 > 物品3
因此，我們盡可能地多拿物品1，直到將物品1拿完之後，才去拿物品2.....
最終貪心選擇的結果是這樣的：物品1全部拿完，物品2也全部拿完，物品3拿走10kg（只拿走了物品3的一部分！！！）
這種選擇獲得的價值是最大的。在（三）會給出證明。
而對於0-1揹包問題，如果也按「優先選擇單位重量下價值最大的物品」這個貪心策略，那麼，在拿了物品1和物品2之後，就不能在拿物品3了。因為，在拿了物品1和物品2之後，揹包中已經裝了10+20=30kg的物品了，已經裝不下物品3了（50-30 < 30）（0-1揹包：一件物品要麼拿，要麼不拿，否能只拿一部分）,此時得到的總價值是 160。而如果拿物品2和物品3，得到的價值為220。這說明，該貪心策略對0-1揹包問題，不能求得最優解。
三，部分揹包問題的貪心策略的正確性證明
貪心策略是：總是優先選擇單位重量下價值最大的物品
正確性證明 是：使用該貪心策略，可以獲得最優解。在這裡，最優解就是帶走的物品價值最大。
證明思路：先考察乙個全域性最優解，然後對該解加以修改(一般是採用「剪枝」技巧)，使其採用貪心選擇，這個選擇將原問題變成乙個相似的、但是更小的問題。
先假設 物品集合s=已經按 單位重量價值從小到大排好序了。
並假設 乙個全域性最優解是：s(i)=。wi1，wi2，.....win是有序的。對於貪心選擇而言，總是會優先 選擇 wn 的物品，當wn 沒有後，再選擇wn-1 .....
如果win = wn 問題已經得證。因為，我們的最優解s(i)中，已經包含了貪心選擇。只要繼續歸納下去，wi(n-1) 就是 wn-1 ....
如果win != wn 運用剪枝技巧，剪掉win 並 貼上 wn 此時，得到的是乙個更優的解(因為價值更大了 ，wn > win)。因為，wn 是單位重量價值最高的那個物品啊，我們的貪心選擇應該選擇它，但是這裡的最優解s(i)卻沒有選擇它，於是我們用剪枝技巧，將它加入到s(i)中去，並把s(i)中的win除去。
這就證明了，如果用貪心策略來進行選擇，得到的是最優解。從而證明了貪心演算法的正確性。
其實，也就是證明了一定存在乙個最優解，這個最優解就是由貪心選擇組成的。
四，參考資料
從 活動選擇問題 看動態規劃和貪心演算法的區別與聯絡 文章中講到的 「活動選擇問題」的貪心策略的正確性證明。二者證明思路基本一致。
某種 找換硬幣問題的貪心演算法的正確性證明
部分揹包問題的貪心演算法正確性證明
部分揹包問題可以用貪心演算法求解，且能夠得到最優解。貪心策略是什麼呢？將物品按單位重量 所具有的價值排序。總是優先選擇單位重量下價值最大的物品。單位重量所具有的價值 vi wi 舉個例子 假設揹包可容納50kg的重量，物品資訊如下 物品 i 重量 kg 價值 單位重量的價值 1 10 60 6 2 ...
部分揹包問題的貪心演算法正確性證明
一，部分揹包問題介紹 首先介紹下0 1揹包問題。假設一共有n件物品，第 i 件物品的價值為 vi 重量為wi，乙個小偷有乙個最多只能裝下重量為w的揹包，他希望帶走的物品越有價值越好，請問 他應該選擇哪些物品？0 1揹包問題的特點是 對於某件 更適合的說法是 某類 物品，要麼被帶走 選擇了它 要麼不被...
部分揹包問題 貪心演算法
有n個商品,每個商品的重量為wi,為 pi,現有乙個揹包，最多能裝 的重量 其中 0 i 問 怎樣裝能使包中裝入的商品價值最高 對於每個商品可以只裝該商品的一部分 include stdio.h include iostream include stdlib.h define maxsize 100...