Dijkstra演算法正確性證明

問題：求圖中點1到其他各點的最短距離

演算法描述：

設初始時圖的所有點的集合u

把起點s放入初始集合set中

u=u-

set=set+

找s經過集合set中的點，能達到的距離最短的點k(k\(\in\)u)，將k併入set

言外之意k的前乙個點必然屬於set

set=set+

由於每次引入的只有乙個點k，所以只需要基於k對s到達所有點的距離進行更新，之前的點無需考慮

演算法正確性證明：

1. 變數的命名：

set=

記錄已求出最短路徑的頂點

dist[u]

從start點開始，經過set中的點，到u點(u\(\in\)u)的最短距離

short[u]

從start開始到u的全域性最短路徑(路徑中可能有部分點\(\notin\)set)

可知 \(short[u]\leq dist[u]\)

u

所有點除去set中的點組成的集合

2. 證明過程：(貪心正確性的證明)需要證明的命題：演算法進行到第k步時，set中的任意乙個節點set_i的dist[set_i]等於全域性最短路徑short[set_i](第n步時，dist[n]=short[n]，此時找到點1到所有點的最短距離)

歸納基礎：

k=1，set= => dist[start_point] == short[start_point] ==0，命題正確

歸納假設：

假設第k步成立，現在來證明第k+1步成立

第k步成立的作用在於s到set中的所有節點(設某節點為k)有dist[k]=short[k]

所以對於引入的第k+1個點v，s->v序列中set中的點一定是連續的(如下圖。因為s->v中的set的最後乙個點u之前的所有點必然都屬於set)

設k+1步選擇了頂點v(v是s經過set所能到達的u中距離最近的點)

則頂點v必然與set中的u點直接相連， 也就是說上圖中非set中的點集為空集

證明如下：

假設藍色部分「非set中的點」所組成的集合不為空，也就是s到v的最短路徑是先有一部分set中的點，再由一部分u中的點組成，那麼

short[v]：s->...->u->...->y->...->v

如下圖

因為之前論證過s->u(u代表set集合中的最後乙個點)過程中所有的點均屬於set，所以有：

s->...->u1->v

s->...->u2->y->v

易知length(s->...->u1->v)\(\leq\)length(s->...->u2->y)

v是s經由set所能達到的距離最小點

又length(y->v)$\geq$0

所以不存在這樣的y，s到v的最短路徑上v的前乙個節點必然為set中的點

從而也就論證了迪傑斯特拉演算法的正確性

Dijkstra演算法正確性證明

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