次短路徑可以看作是k短路徑問題的一種特殊情況，求k短路徑有yen演算法等較為複雜的方法，對於次短路徑，可以有更為簡易的方法。下面介紹一種求兩個頂點之間次短路徑的解法。
我們要對乙個有向賦權圖(無向圖每條邊可以看作兩條相反的有向邊)的頂點s到t之間求次短路徑，首先應求出s的單源最短路徑。遍歷有向圖，標記出可以在最短路徑上的邊，加入集合k。然後列舉刪除集合k中每條邊，求從s到t的最短路徑，記錄每次求出的路徑長度值，其最小值就是次短路徑的長度。
在這裡我們以為次短路徑長度可以等於最短路徑長度，如果想等，也可以看作是從s到t有不止一條最短路徑。如果我們規定求從s到t大於最短路徑長度的次短路徑，則答案就是每次刪邊後大於原最短路徑的s到t的最短路徑長度的最小值。
用dijkstra+堆求單源最短路徑，則每次求最短路徑時間複雜度為o(nlog(n+m) + m)，所以總的時間複雜度為o(nm*log(n+m) + m^2)。該估計是較為悲觀的，因為一般來說，在最短路徑上的邊的條數要遠遠小於m，所以實際效果要比預想的好。
模擬上述次短路徑求法，很容易想到乙個「列舉刪除最小生成樹上的每條邊，再求最小生成樹」的直觀解法。如果用prim+堆，每次最小生成樹時間複雜度為o(nlog(n+m) + m)，列舉刪除有o(n)條邊，時間複雜度就是o(n^2log(n+m) + n*m)，當圖很稠密時，接近o(n^3)。這種方法簡易直觀，但我們有乙個更簡單，而且效率更高的o(n^2+m)的解法，下面介紹這種方法。
首先求出原圖最小生成樹，記錄權值之和為minst。列舉新增每條不在最小生成樹上的邊(u,v)，加上以後一定會形成乙個環。找到環上權值第二大的邊(即除了(u,v)以外的權值最大的邊)，把它刪掉，計算當前生成樹的權值之和。取所有列舉修改的生成樹權值之和的最小值，就是次小生成樹。
具體實現時，更簡單的方法是從每個節點i遍歷整個最小生成樹，定義f[j]為從i到j的路徑上最大邊的權值。遍歷圖求出f[j]的值，然後對於新增每條不在最小生成樹中的邊(i,j)，新的生成樹權值之和就是minst + w(i,j) - f[j]，記錄其最小值，則為次小生成樹。
該演算法的時間複雜度為o(n^2 + m)。由於只用求一次最小生成樹，可以用最簡單的prim，時間複雜度為o(n^2)。演算法的瓶頸不在求最小生成樹，而在o(n^2+m)的列舉加邊修改，所以用更好的最小生成樹演算法是沒有必要的。
haoi 2005 路由選擇問題 直接求次短路徑。
pku 3255 roadblocks 稍微特殊的次短路徑，允許邊重複走。
ural 1416 confidential 求次小生成樹的問題、
pku 1679 the unique mst 判斷最小生成樹是否唯一。
source：
最小生成樹與次小生成樹
題意 給出兩個不同方案，每個方案使得所有的城堡被連通 形成連通圖 同時使邊權之和盡量小，問第乙個方案與第二個方案的大小關係。解題思路 因為m個橋能使n個城堡聯通，而兩個大爺的方案中至少存在乙個橋不相同，那麼我們判斷這是乙個求次小生成樹的方法。求次小生成樹模板 列舉 刪邊 再求mst複雜度有點高，看題...
次小生成樹
演算法引入 設g v,e,w 是連通的無向圖,t是圖g的一棵最小生成樹 如果有另一棵樹t1,滿足不存在樹t t t1 則稱t1是圖g的次小生成樹 演算法思想 鄰集的概念 由t進行一次可行交換得到的新的生成樹所組成的集合,稱為樹t的鄰集,記為n t 設t是圖g的最小生成樹,如果t1滿足 t1 min,...
次小生成樹
分類 圖論 2013 02 12 15 03 32人閱讀收藏 舉報次小生成樹 在求最小生成樹時，用陣列path i j 來表示mst中i到j最大邊權。求完後，直接列舉所有不在mst中的邊，把它加入到mst中構成一棵新的樹，且該樹有環，此環是由剛加入的邊 i,j 造成的，所以可以通過刪除path i ...