最近公共祖先 LCA 倍增演算法

樹上倍增求lca

lca指的是最近公共祖先(least common ancestors)，如下圖所示:

4和5的lca就是2

那怎麼求呢？最粗暴的方法就是先dfs一次，處理出每個點的深度

然後把深度更深的那乙個點（4）乙個點地乙個點地往上跳，直到到某個點（3）和另外那個點（5）的深度一樣

然後兩個點一起乙個點地乙個點地往上跳，直到到某個點（就是最近公共祖先）兩個點「變」成了乙個點

不過有沒有發現乙個點地乙個點地跳很浪費時間？

如果一下子跳到目標點記憶體又可能不支援，相對來說倍增的價效比算是很高的

倍增的話就是一次跳2i 個點，不難發現深度差為x時，深度更深的那個點就需要跳x個點，

於是可以寫出這段**

if(depth[a] < depth[b])    swap(a, b);
int c = depth[a] - depth[b];
for(int i = 0; i <= 14; i++)
}

接下來很快就會發現乙個很嚴重的問題:兩個點按照這樣跳，不能保證一定是最近的。所以倍增找lca的方法是這樣的:從最大可以跳的步數開始跳(一定是2i)，如果跳的到的位置一樣，就不跳，如果不一樣才跳，每次跳的路程是前一次的一半

過程大概就像上圖所示，但是執行完了這一段到的點不是最近公共祖先，但是，它們再往上跳一格，就到了

把這一段寫成**，就成了這樣：

for(int i = 14; i >= 0; i--)
}

前面還需要加上一句特判（當a和b在同一邊時，深度淺的那個點就是最近公共祖先） if(a == b) return a;

好了，會求lca了，關鍵是怎麼構造倍增陣列。沒有疑問的是向上跳一格就是自己的父節點

f[i][0] = fa[i];

這個是初值，接著可以根據這個推出來其他的，除此之外還要附上初值0，不然有可能會re

f[i][j] = f[f[i][j - 1]][j - 1];

就是把這一段路，分成兩段已經知道的

完整**就是這樣的:

matrixup;
inline void init_bz()
for(int j = 1; j <= 14; j++)}}

注意倍增求lca適用於詢問多的情況，不然光在預處理上花的時間就已經夠多了。

1. dfs預處理出所有節點的深度和父節點

版本1

void dfs(int u)
}

版本2

inline void dfs(int
u)	}
}

2. 初始各個點的2^j祖先是誰 ,其中 2^j (j =0...log(該點深度))倍祖先，1倍祖先就是父親，2倍祖先是父親的父親......。i的2^j祖先就是i的（2^(j-1))祖先的2^(j-1)祖先:

void init()

3.從深度大的節點上公升至深度小的節點同層，如果此時兩節點相同直接返回此節點，即lca。否則，利用倍增法找到最小深度的 p[a][j]!=p[b][j]，此時他們的父親p[a][0]即lca。

版本1：

int lca(int a,int b)
}a=p[a][0];                            //這時a的father就是lca
}return a;
}

版本2

int lca(int a,int b)//最近公共祖先
}	return p[a][0];
}

lca指的是最近公共祖先(least common ancestors)，如下圖所示:

4和5的lca就是2

那怎麼求呢？最粗暴的方法就是先dfs一次，處理出每個點的深度

然後把深度更深的那乙個點（4）乙個點地乙個點地往上跳，直到到某個點（3）和另外那個點（5）的深度一樣

然後兩個點一起乙個點地乙個點地往上跳，直到到某個點（就是最近公共祖先）兩個點「變」成了乙個點

不過有沒有發現乙個點地乙個點地跳很浪費時間？

如果一下子跳到目標點記憶體又可能不支援，相對來說倍增的價效比算是很高的

倍增的話就是一次跳2i 個點，不難發現深度差為x時，深度更深的那個點就需要跳x個點，

於是可以寫出這段**

if(depth[a] < depth[b])    swap(a, b);
int c = depth[a] - depth[b];
for(int i = 0; i <= 14; i++)
}

過程大概就像上圖所示，但是執行完了這一段到的點不是最近公共祖先，但是，它們再往上跳一格，就到了

把這一段寫成**，就成了這樣：

for(int i = 14; i >= 0; i--)
}

前面還需要加上一句特判（當a和b在同一邊時，深度淺的那個點就是最近公共祖先） if(a == b) return a;

好了，會求lca了，關鍵是怎麼構造倍增陣列。沒有疑問的是向上跳一格就是自己的父節點

f[i][0] = fa[i];

這個是初值，接著可以根據這個推出來其他的，除此之外還要附上初值0，不然有可能會re

f[i][j] = f[f[i][j - 1]][j - 1];

就是把這一段路，分成兩段已經知道的

完整**就是這樣的:

matrixup;
inline void init_bz()
for(int j = 1; j <= 14; j++)}}

注意倍增求lca適用於詢問多的情況，不然光在預處理上花的時間就已經夠多了。

1. dfs預處理出所有節點的深度和父節點

版本1

void dfs(int u)
}

版本2

inline void dfs(int
u)	}
}

void init()

版本1：

int lca(int a,int b)
}a=p[a][0];                            //這時a的father就是lca
}return a;
}

版本2

int lca(int a,int b)//最近公共祖先
}	return p[a][0];
}

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