李群
群(group)是一種集合加上一種運算的代數結構。我們把集合記作 a,運算記作 ·,g = (a, ·)
性質：
特殊正交群 so(n) 也就是所謂的旋轉矩陣群,其中 so(2) 和 so(3) 最為常見。
特殊歐氏群 se(n) 也就是前面提到的 n 維歐氏變換,如 se(2) 和 se(3)。
李代數：
李代數由乙個集合 v,乙個數域 f 和乙個二元運算 [, ] 組成。如果它們滿足以下幾條
性質,稱 (v, f, [, ]) 為乙個李代數,記作 g。
性質：
so(3):
so(3) 對應的李代數是定義在 r 3上的向量,我們記作 φ。
在此定義下,兩個向量 φ 1 , φ 2 的李括號為:
所以so(3) =
它與 so(3) 的關係由指數對映給定：
so(3) 上的指數對映:
so(3) 實際上就是由所謂的旋轉向量組成的空間,而指數對映即羅德里格斯公式。通過它們,我們把
so(3) 中任意乙個向量對應到了乙個位於 so(3) 中的旋轉矩陣。反之,如果定義對數對映,
我們也能把 so(3) 中的元素對應到 so(3)
se(3) 上的指數對映:
so(3), se(3), so(3), se(3) 的對應關係：
李代數求導與擾動模型
該式告訴我們,當對乙個旋轉矩陣 r 2 (李代數為 φ2 )左乘乙個微小旋轉矩陣 r 1 (李代數為 φ 1 )時,可以近似地看作,在原有的李代數 φ 2 上,加上了一項 j l (φ 2 )−1φ 1 。同理,第二個近似描述了右乘乙個微小位移的情況。於是,李代數在 bch近似下,分成了左乘近似和右乘近似兩種,在使用時我們須加注意,使用的是左乘模型還是右乘模型。
假定對某個旋轉 r,對應的李代數為 φ。我們給它左乘乙個微小旋轉,記作 ∆r,對
應的李代數為 ∆φ。那麼,在李群上,得到的結果就是 ∆r · r,而在李代數上,根據 bch
近似,為:j l −1 (φ)∆φ + φ。合併起來,可以簡單地寫成:
同樣的,對於 se(3),亦有類似的bch 近似公式:
李代數求導：
擾動模型(左乘)求導：
我們以左擾動為例。設左擾動 ∆r 對應的李代數為φ。然後,對 φ 求導,即:
優點：不用計算jl
se(3) 上的李代數求導：
假設某空間點 p 經過一次變換 t (對應李代數為 ξ),得到 t p ¬ 。現在,給 t 左乘乙個擾動
∆t = exp (δξ ∧ ),我們設擾動項的李代數為 δξ = [δρ, δφ] t ,那麼:
視覺SLAM十四講 個人筆記 李群與李代數
研究位置與姿態，位置很好說，反正就是xyz，都是線性空間，中學就學過了。但是姿態就很難研究了，姿態的運算不滿足加法律，導數也沒法求，很多東西難以研究，所以就需要李群與李代數的理論指導了。說白一點，李群與李代數 學的就是 位姿微積分 我們為什麼要學 位姿微積分 是因為我們在slam過程中要解決以下問題...
SLAM學習 李群李代數
1.李群 李群是具有連續 光滑 性質的群 它既是群也是流行 直觀上看，乙個剛體能夠連續的在空間中運動，故so 3 和se 3 都是李群。注 so 3 是特殊正交群 se 3 是特殊歐式群，由於旋轉矩陣r是3乘3的維度，但自由度的約束只有3個自由度，所以旋轉矩陣r在9維空間中是乙個連續的3維曲面或流形...
SLAM中的李群與李代數
群是一些資料，並有特定的運算方式，通俗點，元素集合加上代數運算，使得集合中任意兩個元素經過運算後形成的第三個元素仍然在這個集合裡面。群必須滿足四種公理 封閉性 closure 結合性 associtivity 單位元 identity，也叫么元 逆元 invertibility 鳳姐咬你 李群除了滿...