最近在學習slam時第一次遇到李群與李代數的概念，由於一開始不太理解，所以想通過這篇筆記來重新歸納梳理一下。
1.李群的概念：
李群是具有連續（光滑）性質的群；它既是群也是流行；直觀上看，乙個剛體能夠連續的在空間中運動，故so（3）和se（3）都是李群。（注：so(3)是特殊正交群 se(3)是特殊歐式群，由於旋轉矩陣r是3乘3的維度，但自由度的約束只有3個自由度，所以旋轉矩陣r在9維空間中是乙個連續的3維曲面或流形）但是，so(3)和se(3)只有定義良好的乘法，沒有加法，所以難以進行取極限和求導等操作。 但能不能做一些近似或分析上的事情呢？下面來看李代數的概念。
2.李代數的概念：
李代數是與李群對應的一種結構，位於向量空間。通常通常記作小寫的so(3)和se(3)，事實上李代數是李群單位元處的正切空間。
切空間本身是乙個向量空間，所以切空間就可以定義很好的加法運算了。由此可以借由李代數這個切空間去研究對應的李群的一些性質。
例如：大寫的so(3)是乙個李群（流形、曲面），他上面的點無法定義加法運算，因為曲面上的兩個點相加後可能就不在這個曲面上了。在so(3)這個曲面上某個點處可以做它的乙個切平面似的東西或者叫做切空間，這個切空間（是乙個平面）就是對應的李代數，記作小寫的so(3).
3.下面從旋轉矩陣引出李代數
考慮任意旋轉矩陣r,滿足考慮旋轉隨時間變化（連續運動），則有
兩側對時間t求導可得到：
記作：兩邊右乘r(t)可得：，這個式子看起來很像對r(t)求導數後左邊多出了乙個項；很類似於對標量求導中的指數函式求導。
（反對稱符號：）
下面進行更進一步的近似，考慮單位元附近的情況：
在這附近對r(t)進行泰勒展開，得到：
由此可見反映了一階導數性質，它位於正切空間（tangent space）上。
而在t0附近，假設不變，有微分方程：
已知初始情況：r(0)=i,解得： 該式說明対任意的t都能找到乙個r和乙個的對應關係，該關係稱為指數對映（exponential map）。可以大致理解為在切空間附近的乙個點想要找到對應的李群只要求一次exp就可以了，如下圖所示： 這裡的就稱為so(3)對應的李代數so(3)
4.李代數（lie algebra）:
每個李群都有與之對應的李代數。李代數描述李李群單位元附近的正切空間性質。
李代數由乙個集合乙個數域和乙個二元運算[,]組成。如果它們滿足以下幾條性質，稱（v,f,[,]）為乙個李代數。
二元運算[,]被稱為李括號，直觀上說李括號表達李兩個元素的差異。
例子：三維空間向量+叉積運算構成李代數
李代數so(3):
其中：同理，se(3)也有李代數se(3):
5.指數對映和對數對映
指數對映反映李從李代數到李群的對應關係：、
但是是乙個矩陣，對於矩陣，如何定義求指數運算呢？根據微積分中學過的知識，指數計算可以用泰勒展開來寫成乙個級數形式的樣子：
這個級數是可以求出來的，為了求它需要驗證兩個事情
由於是向量，所以可以將他的模長和方向分離出來，用角度乘單位向量來表示：
關於其中的單位向量a可以驗證以下的性質：
由此進行泰勒展開：
結果即為：
這個結果與羅德里格斯公式是一致的，這說明so(3)的物理意義就是旋轉向量。
反之，給定乙個旋轉矩陣時，也能求李代數：
這稱之為對數對映
下面給出se(3)到se(3)的指數對映：
對對兩個李群總結一下：
6.李代數求導與擾動模型
首先slam的定位就是在對相機進行位姿估計，但李群中沒有加法：因為這就導致導數在李群中無從定義，那麼解決的辦法是什麼呢？乙個基本的思想就是：利用李代數上加法定義李群元素的導數，並使用指數對映和對數對映完成變換關係。但這時就有乙個基本的問題：當在李代數中作加法時，是否等價於在李群上做乘法？
如果這個條件成立，問題就簡單了。
在使用標量的情況下這個式子明顯是成立的，但可惜的是這裡的引數是矩陣，所以是不成立的，他多李一些東西。
完整的形式由bch(baker-campbell=hausdorff)公式給出，完整形式非常複雜，部分展開式如下（方括號為李括號）
當其中乙個量為小量時，忽略其高階項，bch具有線性近似形式：
其中：直觀寫法（以左乘為例）在李群上左乘小量時，李代數上的加法相差左雅可比的逆：
反之，李代數上進行小量加法時，相當於李群上左（右）乘乙個帶左（右）雅可比的量：
se(3)比so(3)更複雜：
通過bch線性近似，可以定義李代數上的導數，考慮乙個基本問題：旋轉後的點關於旋轉的導數，由於無法定義所以不嚴謹的記為：
由於r沒有加法，導數無從定義，存在兩種解決的辦法：
a.對r對應的李代數加上小量，求相對於小量的變化率(導數模型);
b.對r左乘或右乘乙個小量，求相對於小量的李代數的變化率（擾動模型）
導數模型如下：
擾動模型更加簡潔實用，如下：
se(3)上的擾動模型：
李群與李代數
先來張整體的從csdn截的圖 該圖 展示了我所認知的李群 李代數抽象概念。這裡，進一步解說下 so 3 是旋轉群，相當於剛體僅作空間轉動的姿態幾何 se 3 是運動群，包括轉動和平動兩部分，上式中t代表位置 x,y,z 一般用p來表示。李代數相當於李群的導數，即角速度 速度 與角度 位置 的關係，代...
SLAM學習 李群李代數
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SLAM中的李群與李代數
群是一些資料，並有特定的運算方式，通俗點，元素集合加上代數運算，使得集合中任意兩個元素經過運算後形成的第三個元素仍然在這個集合裡面。群必須滿足四種公理 封閉性 closure 結合性 associtivity 單位元 identity，也叫么元 逆元 invertibility 鳳姐咬你 李群除了滿...