群是一些資料，並有特定的運算方式，通俗點，元素集合加上代數運算，使得集合中任意兩個元素經過運算後形成的第三個元素仍然在這個集合裡面。
群必須滿足四種公理：封閉性（closure），結合性（associtivity）, 單位元（identity，也叫么元），逆元（invertibility）。》鳳姐咬你
李群除了滿足上述四個公理，還需要滿足其他公理，例如不可交換。
李群是具有微分流形結構的群，群集合中的元素是矩陣。
流形（manifold），這個中文翻譯簡直好的不能再好了。最最粗略的理解就是，流形就是乙個彎曲的空間，但是在空間的每一點的區域性都可以近似為乙個平坦的補丁。在那塊平坦的補丁上就可以定義乙個向量空間來表示方向。如果我們知道了每一塊補丁（local），就能完整地拼出整個(global)流形了。
李群的向量空間就是李代數。
李群出了這個流形或是拓撲結構以為還有自己的代數結構（群結構）。結果呢由於這個群結構，我們只需要知道一塊補丁，李代數，就能了解絕大部分的李群結構了，因為其他補丁都可以由群結構和李代數組合得到。
李代數大概就兩大類：簡單（******）的還有可解的（solvable）。所有的李代數最後都可以分解成這兩類的組合。這兩類是李代數的代數結構複雜程度上的兩個極端。最最簡單的李代數是阿貝爾（abelian）的，可以說是沒有代數結果。而可解的就是最最接近的abelian的非平凡的代數結構，可以理解為許多abelian李代數的一種組合。******的李代數的代數反而是最複雜的，因為是完全無法簡化分解的。但是有趣的是，所有的簡單的李代數（在複數域上）已經被完全分類了，而且就有那麼幾種。這樣我想起了愛因斯坦的一句名言：「god is subtle, but he is not malicious」, 山窮水盡必有柳暗花明。
李代數是定義在某個數域f上的集合v，同時定義了乙個稱為李括號[⋅,⋅]的雙目運算子。我們把斜體部分稱為李代數的三個要素。同李群類似，對所有的x,y,z∈v 和 a,b∈f，李代數也必須滿足四個性質：
封閉性：[x,y]∈v
雙線性：[ax+by,z]=a[x,z]+b[y,z]and[z,ax+by]=a[z,x]+b[z,y]
自反性：[x,x]=0
雅可比恒等：[x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0
作為例子，三維向量 r3 上定義的叉積 × 是一種李括號，因此 g = (r3; r; ×) 構成了乙個李代數
so(3)對應的李代數so(3)是定義在r3上的向量，記作ϕ。
se(3)對應的李代數se(3)是定義在r6上的向量，記作ξ。我們把每個 se(3) 元素記作 ξ，它是乙個六維向量。前三維為平移，記作 ρ；後三維為
旋轉，記作 ϕ，實質上是 so(3) 元素
李代數經過指數對映會得到對應李群，反過來，李群經過對數對映得到對應李代數
真實世界裡有乙個觀測點p，產生的觀測值為z，當我們知道p和z後，需要獲得此時相機的位置姿態t。在獲取t時，由於我們觀測的誤差，t的求解存在著誤差。t也稱為相機外參，是slam計算的最終目標。
我們將誤差最小作為我們的優化指標，優化目標函式是
這裡我們需要進行迭代求解，迭代求解用到梯度下降法，我們需要知道矩陣j對t求導，這裡出現了矩陣求導。但是這裡有個問題，矩陣的加法不具有封閉性，在進行迭代時需要用到加法，因此矩陣即使可以求導，也不能解決加法不可用的問題。
因為李群具有連續性質，因為我們將我們的問題轉換到適用李群的結構，這樣便解決了加法不可用的問題。
①矩陣可微：旋轉矩陣的微分是乙個反對稱(也叫斜對稱)矩陣左乘它本身。
這裡我們可以看出我們的反對稱矩陣其實只包含三個數，也就是有三個自由度。
三個數的話我們便可以表示成乙個向量。
該向量就是李群大so(3)對應的李代數小so(3)。李代數為向量φ的集合，每個φi都可以通過對映變為反對稱矩陣，再通過下式子，得到我們的旋轉矩陣。
這表明，
李群空間的任意乙個旋轉矩陣r都可以用李代數空間的乙個向量的反對稱矩陣指數來近似。
應用過matlab和opencv雙目標定的同學應該都用過旋轉向量和旋轉矩陣，他們之間的變換由羅德里格斯公式得到。和這裡類似，我們的旋轉向量組成了我們的李代數空間。
。。到此，我們就將我們的旋轉矩陣的導數轉換成了旋轉向量，實現了導數向李代數的變化，使得加法具有了封閉性。
這裡我們用乙個特殊的小符號^來表示將向量 轉換成 反對稱矩陣。
參考：1
2 3 slam十四講
4
SLAM學習 李群李代數
1.李群 李群是具有連續 光滑 性質的群 它既是群也是流行 直觀上看，乙個剛體能夠連續的在空間中運動，故so 3 和se 3 都是李群。注 so 3 是特殊正交群 se 3 是特殊歐式群，由於旋轉矩陣r是3乘3的維度，但自由度的約束只有3個自由度，所以旋轉矩陣r在9維空間中是乙個連續的3維曲面或流形...
視覺SLAM中的李群 李代數基礎
前言 在做slam研究的時候，會涉及到對旋轉矩陣求導的問題。這時候需要使用矩陣李群的知識，將旋轉或者變換等矩陣李群形式，對映到李代數上求解。本文主要涉及兩個特殊矩陣李群 特殊正交群 special orthogonal group so 3 表示旋轉 特殊歐幾里得群 special euclidea...
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