前言
在做slam研究的時候，會涉及到對旋轉矩陣求導的問題。這時候需要使用矩陣李群的知識，將旋轉或者變換等矩陣李群形式，對映到李代數上求解。本文主要涉及兩個特殊矩陣李群：特殊正交群（special orthogonal group）so(3)，表示旋轉；特殊歐幾里得群（special euclidean group）se(3)，表示位姿。
1 群的定義
群（group）是乙個集合加上一種運算所構成的代數結構。該運算將兩個元素a和b組成另外乙個元素，記為a·b或者ab。記集合為g，運算為· ，則當滿足一下四個性質的時候，稱(g, •)為乙個群。
（1）封閉性（closure）：任意a，b屬於g，有a·b仍然屬於g;
（2）結合性（associativity）：任意a，b，c屬於g，有(a·b)·c = a·(b·c);
（3）單位元（么元）（identity）：存在a0屬於g，對任意b屬於g，均有a0·b = b·a0= b;
（4）逆元（invertibility）：任意a屬於g，存在a-1屬於g，使得a·a-1= a0 。
2 特殊正交群和特殊歐幾里得群
特殊正交群：
特殊歐幾里得群：
李群：• 李群是乙個微分流形，群上的操作是光滑的。
• 矩陣李群的元素是矩陣，群上的運算是矩陣乘法，元素的逆即矩陣的逆。
• so(3)和se(3)都是李群，但是只對乘法封閉，對加法不封閉，不適合做微分、求導運算。
3 李代數
3.1 李代數定義
對於任意乙個李群，都存在乙個李代數與之對應。李代數是一種位於向量空間的代數結構。李代數包含乙個集合v，乙個數域f和乙個二元運算[ , ]。如果它們滿足一下四條性質（封閉性、雙線性、自反性、雅克比等價），就稱(v, f, [ , ]) 為乙個李代數。
（1）封閉性（closure）：[x,y]屬於v,
（2）雙線性（bilinearity）：[ax+by,z] = a[x,z]+b[y,z], [z, ax+by]= a[z,x]+b[z,y],
（3）自反性（alternating）：[x,x] =0,
（4）雅克比等價（jacobi identity）：[x, [y,z]] + [z, [x,y]] +[y, [z,x]] =0
3.2 李代數的引出過程
3.3 旋轉和變換的李代數so(3)和se(3)
與so(3)對應的李代數是so(3)：
與se(3)對應的李代數是se(3):
4 指數對映和對數對映
4.1 指數對映
指數對映是從李代數對映到李群的一種方式。
為了定義矩陣指數運算，需要用到泰勒展開式。
令關於即羅德里格斯公式。這說明so(3)的物理意義就是旋轉向量。
對於se(3)和se(3)，也能得到類似的指數對映關係。
4.2 對數對映
同理，給定旋轉矩陣（李群元素），也能求出對應的李代數。
實際中可以採用下面的公式來求解。
小結
視覺SLAM中的李群 李代數基礎
前言 在做slam研究的時候，會涉及到對旋轉矩陣求導的問題。這時候需要使用矩陣李群的知識，將旋轉或者變換等矩陣李群形式，對映到李代數上求解。本文主要涉及兩個特殊矩陣李群 特殊正交群 special orthogonal group so 3 表示旋轉 特殊歐幾里得群 special euclidea...
SLAM學習 李群李代數
1.李群 李群是具有連續 光滑 性質的群 它既是群也是流行 直觀上看，乙個剛體能夠連續的在空間中運動，故so 3 和se 3 都是李群。注 so 3 是特殊正交群 se 3 是特殊歐式群，由於旋轉矩陣r是3乘3的維度，但自由度的約束只有3個自由度，所以旋轉矩陣r在9維空間中是乙個連續的3維曲面或流形...
SLAM中的李群與李代數
群是一些資料，並有特定的運算方式，通俗點，元素集合加上代數運算，使得集合中任意兩個元素經過運算後形成的第三個元素仍然在這個集合裡面。群必須滿足四種公理 封閉性 closure 結合性 associtivity 單位元 identity，也叫么元 逆元 invertibility 鳳姐咬你 李群除了滿...