gauss消元法的步驟：
(1) 若方程組的第乙個主元位置為\(0\)則交換方程以得到第乙個主元 ；
(2) 用第乙個方程的倍數消去第乙個主元下方所有係數；
(3) 確定第二個主元，繼續以上消元過程；
(4) 最後得到含乙個未知量的方程，回代得方程組的解.。
\(n\)個方程有\(n\)個主元\(\leftrightarrow\)方程組有唯一解。
消元中止\(\rightarrow\)方程組無解或有無窮多解(即出現\(0 = c \neq 0\)或\(0 = 0\)).
解：
現在有矩陣\(a\)
\[\begin
1 & 2 & 1 \\
3 & 8 & 1 \\
0 & 4 & 1
\end
\]需要將其變換為階梯形矩陣\(u\)。
首先，第二行減去第一行的三倍。
\[\begin
1 & 0 & 0 \\
-3 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end
\begin
1 & 2 & 1 \\
3 & 8 & 1 \\
0 & 4 & 1
\end
=\begin
1 & 2 & 1 \\
0 & 2 & -2 \\
0 & 4 & 1
\end
\]記左側矩陣為\(e_\)
然後，第三行減去第二行的兩倍。
\[\begin
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & -2 & 1
\end
\begin
1 & 2 & 1 \\
0 & 2 & -2 \\
0 & 4 & 1
\end
=\begin
1 & 2 & 1 \\
0 & 2 & -2 \\
0 & 0 & 5
\end
\]記左側矩陣為\(e_\)
因此，整個變換過程為\(e_(e_a) = (e_e_)a = u\)
置換矩陣（交換第一行和第二行）：
\[\begin
0 & 1 \\
1 & 0
\end
\begin
a & b \\
c & d
\end
=\begin
c & d \\
a & b
\end
\]注：若對列進行變換，則將變換矩陣放在右邊。「左行右列」
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