高斯消元法可以求線性方程組。本質上是暴力模擬手算的過程。
3 x+2 y+z=10 \\ 5 x+y+6 z=25 \\ 2 x+3 y+4 z=20 \end\right.
⎩⎨⎧3x
+2y+
z=10
5x+y
+6z=
252x
+3y+
4z=2
0手算的過程為第乙個與第二個方程抵消，第二個與第三個抵消。得到乙個元二次方程組在經過類似步驟得到解。其中運用了三個小學性質
兩個方程互換解不變。
乙個方程乘以非零數解不變。
一方程加上另乙個方程，解不變。
至於高斯消元法，先將 n
nn 元一次方程寫成 n×(
n+1)
n \times (n + 1)
n×(n+1
) 的矩陣，可以任意交換它的行和左邊 n
nn 列，也將一行加到另一行，將一行乘上非零數。
\left\ 3 & 2 & 1 & 10 \\ 5 & 1 & 6 & 25 \\ 2 & 3 & 4 & 20 \end\right\}
⎩⎨⎧35
221
316
410
2520
⎭⎬⎫
高斯消元法將矩陣消成前 n
nn 列對角線上元素為 1
11 其它為 0
00 的單位矩陣。第 n+1
n + 1
n+1 列為方程的解。
\left\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end\right\}
⎩⎨⎧10
001
000
112
3⎭⎬
⎫x = 1 \\ y = 2 \\ z = 3 \end\right.
⎩⎨⎧x=
1y=2
z=3
從方程的意義上，乙個未知數的係數至少有乙個不為 0
00，那麼矩陣上為一列中至少乙個元素不為 0
00 否則方程無解，所以先判斷無解，並將每一列的非零數所在的行移動到對角線上。
for
(int i =
1; i <= n; i++
)for
(int j =
1; j <= n +
1; j++
)swap
(a[i]
[j], a[p]
[j])
;}
11 所以對每一行除上乙個數，讓這一行對角線位的元素為 1
11。這樣會出現小數，所以陣列的型別是double。
double x = a[i]
[i];
//a[i][i] 會被更新所以用變數儲存
for(
int j =
1; j <= n +
1; j++
) a[i]
[j]/
= x;
nn 列其它的元素搞成 0
00。ai,
ia_
ai,i
的係數消成了 1
11 要好好利用，將其它行的第 i
ii 個未知數通過 ai,
ja_
ai,j
消到 000。
#include
using
namespace std;
const
int n =
300, inf =
0x3f3f3f3f
;inline
intread()
double a[n]
[n];
intmain()
for(
int j =
1; j <= n +
1; j++
)swap
(a[i]
[j], a[p]
[j])
;double x = a[i]
[i];
for(
int j =
1; j <= n +
1; j++
) a[i]
[j]/
= x;
for(
int j =
1; j <= n; j++)if
(i != j)
}for
(int i =
1; i <= n; i++
)printf
("%.2lf\n"
, a[i]
[n +1]
);return0;
}
3)
o(n^3)
o(n3)。
模板題 gym 100644h 配平化學方程式 cf113d museum。
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