先來理解幾個概念
在原先能夠流通的網路中移除的邊集，使得網路無法流通
所有的割中邊權和最小的割即為最小割
可以想象一下，kido為了自給自足給自己建了超多供水管道（kido能進行光合作用），形成了乙個網路，然後容量越大的管道防護設施越好，但是總有人想渴死kido就想炸掉管道，但是貧乏的****既想渴死kido又想節約成本，那麼最節約成本的破壞管道的方案即為最小割
在任何的網路中，最大流的值等於最小割的容量
具體的證明分三部分
1.任意乙個流都小於等於任意乙個割
這個很好理解 自來水公司隨便給你家通點水，構成乙個流
****隨便砍幾刀 砍出乙個割
由於容量限制，每一根的被砍的水管子流出的水流量都小於管子的容量
每一根被砍的水管的水本來都要到你家的，現在流到外面 加起來得到的流量還是等於原來的流
管子的容量加起來就是割，所以流小於等於割
由於上面的流和割都是任意構造的，所以任意乙個流小於任意乙個割
2.構造出乙個流等於乙個割
當達到最大流時，根據增廣路定理
殘留網路中s到t已經沒有通路了，否則還能繼續增廣
我們把s能到的的點集設為s,不能到的點集為t
構造出乙個割集c[s,t],s到t的邊必然滿流 否則就能繼續增廣
這些滿流邊的流量和就是當前的流即最大流
把這些滿流邊作為割，就構造出了乙個和最大流相等的割
相當於在殘量網路中，源點能到達的結點的各個邊的容量和為最大流
所以如果我們要求乙個最小割的邊集，我們只要跑一編最大流，然後在殘量網路中找正向邊殘量為0的邊，那麼這條邊肯定在最小割裡面，這樣就可以得到一組最小割的邊集
3.最大流等於最小割
設相等的流和割分別為fm和cm
則因為任意乙個流小於等於任意乙個割
任意f≤fm=cm≤任意c
定理說明完成，證明如下：
對於乙個網路流圖g=(v,e) g=(v,e)g=(v,e)，其中有源點s和匯點t，那麼下面三個條件是等價的：
1.流f是圖g的最大流
2.殘留網路gf不存在增廣路
3.對於g的某乙個割(s,t)，此時f=c(s,t)
首先證明1 => 2：
我們利用反證法，假設流f是圖g的最大流，但是殘留網路中還存在有增廣路p，其流量為fp。則我們有流f′=f+fp>f 。這與f是最大流產生矛盾。
接著證明2 => 3：
假設殘留網路gf不存在增廣路，所以在殘留網路gf中不存在路徑從s到達t。我們定義s集合為：當前殘留網路中s能夠到達的點。同時定義t=v-s。
此時(s,t)構成乙個割(s,t)。且對於任意的u∈s,v∈t ，有f(u,v)=c(u,v)。若f(u,v)=c(u,v) 。若c(u,v)f(u,v)0，s可以到達v，與v屬於t矛盾。
因此有f(s,t)=σf(u,v)=σc(u,v)=c(s,t)。
最後證明3 => 1：
由於f的上界為最小割，當f到達割的容量時，顯然就已經到達最大值，因此f為最大流。
這樣就說明了為什麼找不到增廣路時，所求得的一定是最大流。
最大流 最小割定理
割 cut 是網路中頂點的劃分，它把網路中的所有頂點劃分成兩個頂點的集合源點s和匯點t。記為cut s,t 如下圖 源點 s 1 匯點 t 5。框外是容量，框內是流量 如下圖是乙個圖的割。頂點集合s 和t 構成乙個割。如果一條弧的兩個頂點分別屬於頂點集s和t那麼這條弧稱為割cut s,t 的一條割邊...
最大流最小割定理
在最優化理論中，最大流最小割定理提供了對於乙個網路流，從源點到目標點的最大的流量等於最小割的每一條邊的和。即對於乙個如果移除其中任何一邊就會斷開源點和目標點的邊的集合的邊的容量的總和。最大流最小割定理是線性規劃中的雙對問題的一種特殊情況，並且可以用來推導menger定理和k nig egerv ry...
最小割最大流定理
最小割最大流定理 定理一 如果f是網路中的乙個流，cut s,t 是任意乙個割，那麼f的值等於正向割邊的流量與負向割邊的流量之差。證明 設x和y是網路中的兩個頂點集合，用f x,y 表示從x中的乙個頂點指向y的乙個頂點的所有弧 弧尾在x中，弧頭在y中 的流量和。只需證明 f f s,t f t,s ...