迴圈矩陣 \(a\) 大概長這樣：
\[a =
\begin
a_0 & a_1 & \dots & a_ \\
a_ & a_0 & \dots & a_ \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_1 & a_2 & \dots & a_0 \\
\end
\\\]
如果記矩陣 \(e\)：
\[e =
\begin
0 & 1 & 0 & \dots & 0 \\
0 & 0 & 1 & \dots & 0 \\
\vdots &\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \dots & 1 \\
1 & 0 & 0 & \dots & 0 \\
\end
\\\]
則 \(a = a_0i + a_1e + a_2e^2 + \dots + a_e^\)。
由於 \(e^n = 1\)，可以將 \(e\) 當作 \(n\) 階形式變元。這解釋了為什麼迴圈矩陣的乘法等價於迴圈卷積。
據某位相關人士口胡，迴圈矩陣和什麼 「線性非時變系統」 有關。考慮 \(\sum_^\omega_n^i = 0\)。聽到這個名詞的瞬間，我就放棄了思考。
如果記向量 \(v_i = [\omega_n^,\omega_n^,\dots,\omega_n^]\)，則上式又可描述成 \(v_i\cdot v_j = [i = j]\times n\)
注意複數向量的點積要取共軛，因此 \(v_i\cdot v_j = \sum_k w_^\)。考慮連續情況。記 \(f_w(t) = e^\)，則函式點積 \(f_\cdot f_ = [w_1 = w_2]\times 2\pi\)。
這裡函式點積定義成 \(\int_^f_(t)\overline_(t)dt = \int_^e^dt\)。考慮將函式點積展開成實部虛部，還可以利用三角函式證明（這裡要求 \(w\in n_+\)）。
這些都在說明正交性。
接下來再考慮矩陣 \(v\)：
\[v =
\begin
\omega^_n & \omega^_n & \dots & \omega^_n \\
\omega^_n & \omega^_n & \dots & \omega^_n \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\omega^_n & \omega^_n & \dots & \omega^_n \\
\end
\]上文已經說明了 \(\\) 的正交性，即 \(v_0, v_1, \dots, v_\) 構成一組 \(\mathbb c^n\) 的正交基（並不是規範正交基，模長為 \(\sqrt n\)）。
那麼它的逆矩陣也就呼之欲出了：
\[v^ = \frac
\begin
\omega^_n & \omega^_n & \dots & \omega^_n \\
\omega^_n & \omega^_n & \dots & \omega^_n \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\omega^_n & \omega^_n & \dots & \omega^_n \\
\end
\]所以這還是涉及到正交性。
接下來瞎扯淡一些東西。可以略過不看。
我自己揣摩了一下，大概這 4 種表達了不同程度的離散與連續。
計算機當然只能用最離散的 dft。
為什麼 dft 一定要得是迴圈卷積而不能直接做線性卷積？
感性上說線性卷積其實就是週期無窮大的迴圈卷積（有點像 dtft？我不太清楚這套理論），然而不可能取無窮個點。
至於為什麼必然會迴圈，這似乎取決於 \(e^\) 本身的性質。也不是很懂。
回到迴圈矩陣。
根據一開始的分解，若 \(e\) 的特徵值為 \(\lambda\)，則 \(a\) 的特徵值為 \(f(\lambda)\)。
注意 \(e\) 的特徵多項式為 \(\lambda^n - 1 = 0\)。
我們得到：迴圈矩陣的特徵值為 \(f(\omega_^i)\)（即 dft 的結果）。
事實上，由於 \(a\) 的特徵值互不相同，它可對角化。如果記 \(d\)：
\[d =
\begin
f(\omega^0_n) & 0 & \dots & 0 \\
0 & f(\omega^1_n) & \dots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \dots & f(\omega^_n) \\
\end
\\\]
則會有 \(a = vdv^\)（\(v\) 的定義參考上文）。
注意到所有迴圈矩陣共用同一組特徵向量，由此可以加速矩陣乘法（即 dft 簡化迴圈卷積的原理）。
考慮迴圈矩陣 \(a\) 的行列式 \(\det(a) = \prod \lambda_i = \prod f(\omega_n^i)\)。
如果可以 dft 當然最好，但是在模意義下不一定存在 \(n\) 次單位根。
考慮引入結式：
設 \(f(x) = a_0x^n + a_1x^ + \dots + a_n\)，\(g(x) = b_0x^m + b_1x^ + \dots + b_m\)。此時你已經可以驚訝地發現 \(r(x^n - 1, f)\) 就是 \(\det(a)\)。則結式 \(r(f, g)\) 定義為如下 \(n + m\) 階行列式：
懶得寫了 直接複製了百科的。
如果設 \(f(x)\) 的根為 \(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n\)，\(g(x)\) 的根為 \(\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_m\)，另乙個等價的定義：
\[r(f, g) = a_0^m\prod_^ g(\alpha_i) = a_0^mb_0^n\prod_^\prod_^(\alpha_i - \beta_j)
\]
考慮怎麼計算 自然不會按定義算行列式。結式最一般的還是用來判斷兩個多項式是否有公因式，以及多項式的重根問題。首先有 \(r(f, g) = (-1)^r(g, f)\)。
設 \(f_1 = f/a_0\) 為首一多項式，則 \(r(f, g) = a_0^mr(f_1, g)\)。
注意到 \(f_1(\alpha_i) = 0\)，則 \(r(f_1, g) = r(f_1, g + f_1\times p) = (-1)^r(g\bmod f_1, f_1)\)。
特別地，\(r(0, g) = [m = 0]\)。
然後就可以跑多項式輾轉相除。
當然，可以從抽代的角度理解 「卷積」。這一方面已經有豐富的結果（和一道毒瘤題目 ）。
更深入的內容在這裡就咕且不提。
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