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[**]小波變換與傅利葉變換
分類:預設欄目
如果有人問我，如果傅利葉變換沒有學好（深入理解概念），是否能學好小波。答案是否定的。如果有人還問我，如果第一代小波變換沒學好，能否學好第二代小波變換。答案依然是否定的。但若你問我，沒學好傅利葉變換，能否操作（程式設計）小波變換，或是沒學好第一代小波，能否操作二代小波變換，答案是肯定的。
一、基的概念
我們要明確的是基的概念。兩者都是基，訊號都可以分成無窮多個他們的和（疊加）。而展開係數就是基與訊號之間的內積，更通俗的說是投影。展開係數大的，說明訊號和基，是足夠相似的。這也就是相似性檢測的思想。但我們必須明確的是，傅利葉是0-2pi標準正交基，而小波是-inf到inf之間的基。因此，小波在實軸上是緊的。而傅利葉的基（正弦或余弦），與此相反。而小波能不能成為reisz基，或標準穩定的正交基，還有其它的限制條件。此外，兩者相似的還有就是parseval定理。（時頻能量守恆）。
二、離散化的處理
傅利葉變換，是一種數學的精妙描述。但計算機實現，卻是一步步把時域和頻域離散化而來的。第一步，時域離散化，我們得到離散時間傅利葉變換（dtft），頻譜被週期化；第二步，再將頻域離散化，我們得到離散週期傅利葉級數（dfs），時域進一步被週期化。第三步，考慮到週期離散化的時域和頻域，我們只取乙個週期研究，也就是眾所周知的離散傅利葉變換（dft）。這裡說一句，dft是沒有物理意義的，它只是我們研究的需要。藉此，計算機的處理才成為可能。
下面我們談談小波。所有滿足容許性條件（從-inf到+inf積分為零）的函式，都可以成為小波。小波作為尺度膨脹和空間移位的一組函式也就誕生了。但連續取值的尺度因子和平移因子，在時域計算量和頻域的混疊來說，都是極為不便的。用更為專業的俗語，叫再生核。也就是，對於任何乙個尺度a和平移因子b的小波，和原訊號內積，所得到的小波係數，都可以表示成，在a，b附近生成的小波，投影後小波係數的線性組合。這就叫冗餘性。這時的連續小波是與正交基毫無關係的東西，它頂多也只能作為一種積分變換或基。但它的顯微鏡特點和相似性檢測能力，已經顯現出來了。為了進一步更好的將連續小波變換離散化，以下步驟是一種有效方法。第一步，尺度離散化。一般只將a二進離散化，此時b 是任意的。這樣小波被稱為二進小波。第二步，離散b。怎麼離散化呢？b取多少才合適呢？於是，叫小波取樣定理的東西，就這樣誕生了。也就是小波平移的最小距離（取樣間隔），應該大於二倍小波基的最高頻率（好像類似，記不清了）。所以b取尺度的整數倍就行了。也就是越胖的小波，對應頻譜越窄，平移量應該越大，取樣間隔越大。當然，第一二兩步的頻域理解，即在滿足頻域視窗中心是3倍的頻域視窗半徑的前提下，頻域就在統計上是完美二分的。（但很多小波滿足不了這個條件，而且頻域視窗能量不集中，所以只是近似二分的）。這時的小波變換，稱為離散二進小波變換。第三步，引入穩定性條件。也就是經過變換後訊號能量和原訊號能量有什麼不等式關係。滿足穩定性條件後，也就是乙個小波框架產生成了可能。他是數值穩定性的保證。乙個稍弱的穩定條件，就是0三、快速演算法
如果說現代數字訊號處理革命的演算法，甚至是很多快速演算法的老始祖，或者是滿矩陣向量乘法乙個幾乎不可抗拒的最小計算量nlogn，那就是令我不得不佩服的快速傅利葉變換（fft）。這裡我不想解釋過多的基2演算法，和所謂的三重迴圈，還有那經典的蝶形單元，或是**基之類，我想說的就是一種時頻對應關係。也就是演算法的**。我們首先明確，時域的卷積對應頻域的相乘，因此我們為了實現卷積，可以先做傅利葉變換，接著在頻域相乘，最後再做反傅利葉變換。這裡要注意，實際我們在玩dsp。因此，大家要記住，圓周卷積和離散傅利葉變換，是一家子。快速傅利葉是離散傅利葉的快速演算法。因此，我們實現離散線性卷積，先要補零。然後使得它和圓周卷積相等。然後就是快速傅利葉變換，頻域相乘，最後反快速傅利葉變換。當然，如果我們就需要的是圓周卷積，那我們也就不需要多此一舉的補零。這裡，我們可以把圓周卷積，寫成矩陣形式。這點很重要。y=ax。這裡的a是迴圈矩陣。但不幸的是a仍然是滿陣。
小波的快速演算法。mallet演算法，是乙個令人振奮的東西。它實質給了多解析度分析（多尺度分析）乙個變得一發而不可收的理由。它實質上，講了這樣乙個意思。也就是。我在乙個較高的尺度（細節）上作離散二進穩定的小波變換，得到了乙個結果（小波係數），我若是想得到比它尺度低的小波係數（概貌），我不用再計算內積，只是把較高尺度的小波係數和低通或高通濾波器卷積再抽取即可。但是，所有這些證明的推導是在整個實軸上進行的。即把訊號看成無限長的。但這仍不是我們想要的。還有，我們還必須在較高尺度上作一次內積，才可以使用此演算法。因此，我們開始簡化，並擴充套件此理論。第一，我們把訊號的取樣，作為乙個較高層的小波係數近似初始值。（這是可以的，因為小波很瘦時，和取樣函式無異）。第二，我們把原來的卷積，換為圓周卷積。這和dsp何嘗不一樣呢？他的物理意義，就是把訊號作週期延拖（邊界處理的一種），使之在整個實軸上擴充套件。這種算法令我為之一貫堅持的是，它是完全正交的，也就是說是正交變換。正變換y=ax；反變換x=a』y；一般對於標準正交基，a』是a的共軛轉置，對於雙正交a』是a的對偶矩陣。但不管如何，我們可以大膽的寫，aa』=a』a=i。這裡i是單位矩陣。
那怎樣操作才是最快的呢？我們來分析a的特點，首先a是正交陣，其次a是有迴圈矩陣特點，但此時a上半部分是由低通濾波器構成的迴圈子矩陣，下半部分是由高通濾波器構成的子矩陣，但卻是以因子2為迴圈的。為什麼，因為你做了2抽取。所以我們可以，實現小波變換用快速傅利葉變換。這時如果a是滿陣的，則複雜度由o(n.^2）下降到o(nlogn)。（這個程式我已經傳在了研學上，在原創區）。但還有一點，我們忘了a是稀疏的，因為訊號是很長的，而濾波器確實很短的，也就是這個矩陣是個近似對角陣。所以，快速傅利葉是不快的，除非你傻到含有零的元素，也作了乘法。因此，小波變換是o(n)複雜度的。這是它的優勢。但要實現，卻不是那麼容易，第乙個方法，稀疏矩陣儲存和稀疏矩陣乘法。第二個方法，因子化。因子化，是乙個傑出的貢獻。它在原有的o(n)的複雜度基礎上，對於長濾波器，又把複雜度降低一半。但量級仍然是o (n)。
四、時頻分析
對於平穩訊號，傅利葉再好不過了。它反映的是訊號總體的整個時間段的特點。在頻率上，是點頻的。而對於非平穩訊號，它就無能為力了。而小波恰好對此派上用場。小波是反映訊號，某個時間段的特點的。在頻域上，是某個頻率段的表現。但小波，作為頻譜分析確實存在很多問題。但我們確實可以做出很多的小波滿足這個特點。大家可以看冉啟文的《小波變換與分數傅利葉變換》書，這裡我不再贅述。還有，我們老是說小波是近似頻域二分的，這在dsp上是怎樣的，最近我也在思考。
五、壓縮、消噪、特徵提取
傅利葉變換的壓縮，已經廣泛應用了。它的簡化版本就是dct變換。而小波包的提出，也就使dct有些相形見拙。首先，它提出代價函式，一般就是熵準則。其次，乙個自適應樹分解。再次，基於矩陣範數或較少位編碼的稀疏化策略。這些使小波包的壓縮近乎完美。小波包是從頻域上實現的。從時域上，我們也可採用類似的**和並演算法，來實現訊號最優的表達，這種可變窗小波成為 malvar小波。記住，壓縮是小波最大的優勢。
消噪，一般的傅利葉演算法，一般可以是iir濾波和fir濾波。兩者各有優缺點。而小波的消噪，一般也是由多層分解和閾值策略組成。我們需要的是訊號的特點，雜訊的特點，然後確定用不用小波，或用什麼小波。這點上，小波的優勢並不是很明顯。
特徵提取。這是小波的顯微鏡特點很好地運用。利用模極大值和 lipschitz指數，我們可以對訊號的突變點做分析。但這裡面的問題也是很多。首先，在不同尺度上，雜訊和訊號的模極大值變化不同。再次，一般我們用求內積方法，求模極大值，而不用mallet演算法，或者改用叫多孔演算法的東西來做。這點，我沒任何體會，希望大家多討論吧。
這裡，我不能談應用很多的細節。但我們必須明確：1。你要對小波概念有著明確的理解。對諸如多解析度，時頻視窗與分析，框架，消失矩，模極大值，lipschitz指數等有著清醒地認識。2。你必須考慮小波在此問題上的可行性，這點尤為重要，小波不是萬能的。
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