PKUSC 2015 的一道數學題

有9個人，每三個人中至少有兩個互相認識，求證這裡面至少有4個人互相認識

pku官方題解：

引理:二染色k6中一定有同色k3。

證明:考慮某乙個點，它一定連出至少三條同色邊(不妨設為紅邊)，這三條邊連的三個點之間的連邊，如果存在紅色邊，那麼有紅色k3，如果不存在紅色邊，那麼這三個點構成藍色k3。

下證:二染色k9(下稱為g)中的乙個點，最多連出三條藍色邊：

如果存在某乙個點，連出了至少4條藍色邊，考慮這四條邊連的四個點之間的連邊，如果存在藍色邊，那麼有藍色k3，否則有紅色k4，命題得證。

於是對於g中的每乙個點，最少連出5條紅色邊，但是如果每乙個點都連出5條紅色邊的話，紅邊的總數是9*5/2=22.5不是整數。

所以存在至少乙個點(下稱點v)，連出至少6條紅色邊。

考慮這六條邊連的六個點之間的連邊，有引理可得，這六個點裡一定存在同色k3

情況1:存在藍色k3，命題得證

情況2:存在紅色k3，這三個紅色點加上v構成了紅色k4，命題得證

看完上面這個，我是：

下面說一下我的證明吧qaq應該比上面的好懂

證明：我們把每個人想象成乙個節點，然後每個人之間都連一條邊，構成乙個有$\frac$條邊的無向圖。然後我們給所有邊進行紅黑染色，紅色邊代表連線的兩個人互相認識，黑色邊則代表不認識。那麼原來的結論就等價於圖中必然存在四個點，四個點之間的紅色邊能構成乙個紅色四邊形，且這個圖滿足下面的引理1。

弱弱的引理1：

每三個人中至少有兩個互相認識$\longleftrightarrow$每三個人的關係中不存在三個人都互不認識的情況

每三個人的關係中不存在三個人都互不認識的情況$\longleftrightarrow$無向圖中不存在三個點間的三條邊都為黑色

無向圖中不存在三個點間的三條邊都為黑色$\longleftrightarrow$

圖中不存在黑色三角形

我們只要證明這個藍色結論就可以啦～

對於任意乙個點，連線這個點的邊有8條，且邊的顏色只能是紅色或黑色。由鴿巢原理得(其實下面要說的誰都懂，但是我就要說乙個看起來比較高大上的名字)：在這8條邊中一定存在一種顏色的邊數≥4(這不是廢話嗎)。

然後就可以分情況討論啦：

1.存在乙個點，這個點連線的所有邊中黑色邊數≥4

2.不存在這樣的點，這個點連線的所有邊中黑色邊數≥4；及所有點連線的黑色邊數都≤3；也就是說所有點連線的紅色邊數都≥5

1和2兩種情況的並集是全部情況，所以我們只要依次證明情況1和情況2是藍色結論的充分條件就行啦～

情況1下的證明：

我們隨意選乙個點，滿足條件這個點連線的所有邊中黑色邊數≥4，給它編號為1。因為它連線的8條邊中黑色邊數≥4，任選與1相連的4條黑邊，給這4條黑邊連線的點一次編號為2、3、4、5。因為1和2、3、4、5的連邊都是黑色，由引理1得圖中不能存在黑色三角形，及2和3、3和4、4和5、5和2······這些點間的連邊不能為黑色，也就是說2和3、3和4、4和5、5和2······這些點之間都是紅色邊，這樣恰好構成了乙個紅色四邊形。由此可得情況1是藍色結論的充分條件。

情況2下的證明：

因為所有點連線的紅邊數都≥5，那麼假設所有點連線的紅邊數都等於5，這樣圖中$紅邊總數=\frac$，地球人都知道這是除不開的，那麼由鴿巢原理得again：一定存在乙個點連線的紅邊數≥6(很顯然吧，鴿巢原理在平均數上的變形

詳見《組合數學》

)。那麼我們對乙個連線紅邊數≥6的點編號為1，對它的紅邊連線的點中選6個依次編號為2、3、4、5、6、7。我們設集合s=，1與集合s中的點的連邊可以想象成紅色四邊形中的兩條紅邊，剩下的兩條紅邊在集合s的點之間。對於3這個點，在情況2下它連線的紅邊數≥5，又因為不屬於集合s的點為1，8，9，所以再次由鴿巢原理得：3與集合s中其它點的連邊中紅色邊數≥2(還是很顯然啊，畢竟這是最樸素的鴿巢原理)。設點a，b∈s且a，b≠3，且a，b與3的連邊為紅邊。這樣的話1與a，a與3，3與b，b與1之間的連邊都為紅邊，構成了乙個紅色四邊形。由此可得情況2是藍色結論的充分條件。

綜上，圖中必然存在四個點，四個點之間的紅色邊能構成乙個紅色四邊形，且這個圖滿足引理1$\longrightarrow$有9個人，每三個人中至少有兩個互相認識，這裡面至少有4個人互相認識。

證畢

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