如圖1（其中一種初態），乙個4×4的棋盤，上面有1～15共15個數字和乙個空格（用◎表示），要求利用空格移動棋子把他們排成圖2的形式（目標狀態）。
10 1 11 14 1 2 3 4
2 3 ◎ 5 5 6 7 8
8 9 4 15 9 10 11 12
12 13 6 7 13 14 15 ◎
（圖1） （圖2）
問題：
現有一函式f(x)，x表示格仔的編號（編號與圖2類似，◎處為16號），f(x)的值表示從第x+1格到第16格中，較x格中的棋子的號碼小的棋子個數。例如，圖1中，第8格的棋子是5，故f(8)=1，同理f(14)=2。對於空格◎，定義為比任何棋子都大，如圖1中f(7)=9。又如，圖2中，f(1)=f(2)=...=f(16)=0。
設空格位於棋盤上第i行第j列（如圖1，i＝2，j=3）。
求證：
對於乙個給定的初態，如果:
16 ∑f(x)+i+j
x=1
和是偶數，則該初態可變換成目標狀態，否則，其他任何初態都不可能變換成目標狀態。
///結論0：
若某種初態能夠變換為圖2的排列，則∑f(x)+i+j 是偶數。
證明：考慮空格◎朝上、下、左、右四個方向移動的時候∑f(x)+i+j的變化量:
左、右：變化量為0；
上：設◎的格號為k,格號為k-1,k-2,k-3的格仔中有m個數大於格仔k-4中的數，
則此時的變化量等於2*m;
下：設◎的格號為k,格號為k+1,k+2,k+3的格仔中有m個數大於格仔k+4中的數，
則此時的變化量等於-2*m;
每種情況變化量都是偶數。
由於最終的目標狀態的∑f(x)+i+j=8是偶數，所以結論0成立。
結論1：
在下面的2x3**中i,j可以互換位置，其中◎可在任意乙個x處。
i
x
x
j
x ◎
證明：
i
x
x
j
x ◎
i
◎
x
j
x
x
j
i
x
◎
x
x
◎
j
x
x
i
x
x
j
x
i
◎
x
x
◎
j
i
x
x
x
i
j
x
◎
x
◎
i
j
x
x
x
j
◎
x
i
x
x
得證！由結論1，便可以得到：
結論2：
在2x3的**中，任意兩個數都可以按指定順序移到邊上的兩個格中。
證明：1.若這兩個數在表中相鄰，則首先利用空格子將它們拉到邊上，如果順序正確，即為所求；若不正確，利用結論1，調換位置。
2.若這兩個數在表中不相鄰，則首先利用空格子讓它們相鄰，然後同上。
結論3：
對於4x4的**，通過適當的移動，肯定能得到下列兩種結果狀態之一：
(1). 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
◎
(2). 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
1513
14 12◎
一道數學題引發的世界動盪
今天在網上看到乙個這樣的試題，與大家 一下 0.99999 等於1嗎？0.99999無限迴圈和1究竟哪個大？0.9999.與1比大小 挺白痴的問題，卻引起n多人的關注與激烈討論。首先您是認為哪個答案呢？a.0.9999.1 b.0.9999.1 c.0.9999.1 d.我想絕大多數都會認為是答案a...
記一道好VAN的數學題
首先發掘幾個性質 然後考慮是否能讓乙無論如何都能構造出乙個等色等邊三角形出來。考慮當第 34 步時，左端點和右端點距離 33 段弧，與他們同時相距 33 步的點 z 可以構成乙個等邊三角形。因為偶數步是乙操作的，所以乙必然能使左右端點顏色一致 他染的跟之前的一致即可 然後問題就變成了乙是否能順利染到...
PKUSC 2015 的一道數學題
有9個人，每三個人中至少有兩個互相認識，求證這裡面至少有4個人互相認識 pku官方題解 引理 二染色k6中一定有同色k3。證明 考慮某乙個點，它一定連出至少三條同色邊 不妨設為紅邊 這三條邊連的三個點之間的連邊，如果存在紅色邊，那麼有紅色k3，如果不存在紅色邊，那麼這三個點構成藍色k3。下證 二染色...