有了這些知識，我們就可以看懂 rsa 演算法。這是目前地球上最重要的加密演算法。
六、金鑰生成的步驟
我們通過乙個例子，來理解 rsa 演算法。假設愛麗絲要與鮑勃進行加密通訊，她該怎麼生成公鑰和私鑰呢？
第一步，隨機選擇兩個不相等的質數p和q。
愛麗絲選擇了 61 和 53。（實際應用中，這兩個質數越大，就越難破解。）
第二步，計算p和q的乘積n。
愛麗絲就把 61 和 53 相乘。
n = 61×53 = 3233n 的長度就是金鑰長度。3233 寫成二進位制是 110010100001，一共有 12 位，所以這個金鑰就是 12 位。實際應用中，rsa 金鑰一般是 1024 位，重要場合則為 2048 位。
第三步，計算n的尤拉函式φ(n)。
根據公式：
φ(n) = (p-1)(q-1)愛麗絲算出φ(3233) 等於 60×52，即 3120。
第四步，隨機選擇乙個整數e，條件是1< e < φ(n)，且e與φ(n) 互質。
愛麗絲就在 1 到 3120 之間，隨機選擇了 17。（實際應用中，常常選擇 65537。）
第五步，計算e對於φ(n)的模反元素d。
所謂"模反元素"就是指有乙個整數d，可以使得 ed 被φ(n)除的餘數為1。
ed ≡ 1 (mod φ(n))這個式子等價於
ed - 1 = kφ(n)於是，找到模反元素d，實質上就是對下面這個二元一次方程求解。
ex + φ(n) y = 1已知 e=17, φ(n)=3120，
17x + 3120y = 1這個方程可以用"擴充套件歐幾里得演算法"求解，此處省略具體過程。總之，愛麗絲算出一組整數解為 (x，y)=(2753,-15)，即 d=2753。
至此所有計算完成。
第六步，將n和e封裝成公鑰，n和d封裝成私鑰。
在愛麗絲的例子中，n=3233，e=17，d=2753，所以公鑰就是 (3233,17)，私鑰就是（3233, 2753）。
實際應用中，公鑰和私鑰的資料都採用 asn.1格式表達（例項）。
七、rsa 演算法的可靠性
回顧上面的金鑰生成步驟，一共出現六個數字：
pqn這六個數字之中，公鑰用到了兩個（n和e），其餘四個數字都是不公開的。其中最關鍵的是d，因為n和d組成了私鑰，一旦d洩漏，就等於私鑰洩漏。φ(n)ed
那麼，有無可能在已知n和e的情況下，推導出d？
（1）ed≡1 (mod φ(n))。只有知道e和φ(n)，才能算出d。結論：如果n可以被因數分解，d就可以算出，也就意味著私鑰被破解。可是，大整數的因數分解，是一件非常困難的事情。目前，除了暴力破解，還沒有發現別的有效方法。維基百科這樣寫道：（2）φ(n)=(p-1)(q-1)。只有知道p和q，才能算出φ(n)。
（3）n=pq。只有將n因數分解，才能算出p和q。
"對極大整數做因數分解的難度決定了 rsa 演算法的可靠性。換言之，對一極大整數做因數分解愈困難，rsa 演算法愈可靠。舉例來說，你可以對 3233 進行因數分解（61×53），但是你沒法對下面這個整數進行因數分解。 它等於這樣兩個質數的乘積： 事實上，這大概是人類已經分解的最大整數（232 個十進位制位，768 個二進位制位）。比它更大的因素分解，還沒有被報道過，因此目前被破解的最長 rsa 金鑰就是 768 位。假如有人找到一種快速因數分解的演算法，那麼 rsa 的可靠性就會極度下降。但找到這樣的演算法的可能性是非常小的。今天只有短的 rsa 金鑰才可能被暴力破解。到 2008 年為止，世界上還沒有任何可靠的攻擊 rsa 演算法的方式。
只要金鑰長度足夠長，用 rsa 加密的資訊實際上是不能被解破的。"
八、加密和解密
有了公鑰和金鑰，就能進行加密和解密了。
（1）加密要用公鑰 (n,e)
假設鮑勃要向愛麗絲傳送加密資訊m，他就要用愛麗絲的公鑰 (n,e) 對m進行加密。這裡需要注意，m必須是整數（字串可以取 ascii 值或 unicode 值），且m必須小於n。
所謂"加密"，就是算出下式的c：
me ≡ c (mod n)愛麗絲的公鑰是 (3233, 17)，鮑勃的m假設是 65，那麼可以算出下面的等式：
6517 ≡ 2790 (mod 3233)於是，c等於 2790，鮑勃就把 2790 發給了愛麗絲。
（2）解密要用私鑰(n,d)
愛麗絲拿到鮑勃發來的 2790 以後，就用自己的私鑰(3233, 2753) 進行解密。可以證明，下面的等式一定成立：
cd ≡ m (mod n)也就是說，c的d次方除以n的餘數為m。現在，c等於 2790，私鑰是(3233, 2753)，那麼，愛麗絲算出
27902753 ≡ 65 (mod 3233)因此，愛麗絲知道了鮑勃加密前的原文就是 65。
至此，"加密--解密"的整個過程全部完成。
我們可以看到，如果不知道d，就沒有辦法從c求出m。而前面已經說過，要知道d就必須分解n，這是極難做到的，所以 rsa 演算法保證了通訊安全。
你可能會問，公鑰(n,e) 只能加密小於n的整數m，那麼如果要加密大於n的整數，該怎麼辦？有兩種解決方法：一種是把長資訊分割成若干段短訊息，每段分別加密；另一種是先選擇一種"對稱性加密演算法"（比如 des），用這種演算法的金鑰加密資訊，再用 rsa 公鑰加密 des 金鑰。
九、私鑰解密的證明
最後，我們來證明，為什麼用私鑰解密，一定可以正確地得到m。也就是證明下面這個式子：
cd ≡ m (mod n)因為，根據加密規則
ｍe ≡ c (mod n)於是，c可以寫成下面的形式：
c = me - kn將c代入要我們要證明的那個解密規則：
(me - kn)d ≡ m (mod n)它等同於求證
med ≡ m (mod n)由於
ed ≡ 1 (mod φ(n))所以
ed = hφ(n) +1將 ed 代入：
mhφ(n) +1 ≡ m (mod n)接下來，分成兩種情況證明上面這個式子。
（1）m與n互質。
根據尤拉定理，
mφ(n) ≡ 1 (mod n)得到
(mφ(n))h × m ≡ m (mod n)原式得到證明。
（2）m與n不是互質關係。
由於n等於質數p和q的乘積，所以m必然等於 kp 或 kq。
以 m = kp 為例，考慮到這時k與q必然互質，則根據尤拉定理，下面的式子成立：
(kp)q-1 ≡ 1 (mod q)進一步得到
[(kp)q-1]h(q-1) × kp ≡ kp (mod q)即
(kp)ed ≡ kp (mod q)將它改寫成下面的等式
(kp)ed = tq + kp這時t必然能被p整除，即 t=t'p
(kp)ed = t'pq + kp因為 m=kp，n=pq，所以
med ≡ m (mod n)原式得到證明。
RSA演算法原理（二）
上一次，我介紹了一些數論知識。有了這些知識，我們就可以看懂rsa演算法。這是目前地球上最重要的加密演算法。六 金鑰生成的步驟 我們通過乙個例子，來理解rsa演算法。假設愛麗絲要與鮑勃進行加密通訊，她該怎麼生成公鑰和私鑰呢？第一步，隨機選擇兩個不相等的質數p和q。愛麗絲選擇了61和53。實際應用中，這...
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rsa演算法是最廣泛使用的非對稱加密演算法。金鑰長度為1024位，特殊情況下比如國家重要的一些東西採用2048位。在理解rsa演算法之前先來看4個數學概念 互質關係 兩個整數，除了1之外沒有其它公因子，就稱這兩個整數具有互質關係。尤拉函式 用 n 表示。例如在1 8中，與8形成互質關係的有4個，那麼...