RSA演算法原理（一）

一、一點點歷史

加密和解密使用同樣規則（簡稱"金鑰"），這被稱為"對稱加密演算法"（symmetric-key algorithm）。這種加密模式有乙個最大弱點：甲方必須把加密規則告訴乙方，否則無法解密。儲存和傳遞金鑰，就成了最頭疼的問題

2023年，兩位美國計算機學家whitfield diffie 和 martin hellman，提出了一種嶄新構思，可以在不直接傳遞金鑰的情況下，完成解密。這被稱為"diffie-hellman金鑰交換演算法"。

新的加密模式被稱為"非對稱加密演算法"。

（1）乙方生成兩把金鑰（公鑰和私鑰）。公鑰是公開的，任何人都可以獲得，私鑰則是保密的。

（2）甲方獲取乙方的公鑰，然後用它對資訊加密。

（3）乙方得到加密後的資訊，用私鑰解密。

如果公鑰加密的資訊只有私鑰解得開，那麼只要私鑰不洩漏，通訊就是安全的。

2023年，三位數學家rivest、shamir 和 adleman 設計了一種演算法，可以實現非對稱加密。這種演算法用他們三個人的名字命名，叫做rsa演算法。從那時直到現在，rsa演算法一直是最廣為使用的"非對稱加密演算法"。毫不誇張地說，只要有計算機網路的地方，就有rsa演算法。

這種演算法非常可靠，金鑰越長，它就越難破解。根據已經披露的文獻，目前被破解的最長rsa金鑰是768個二進位制位。也就是說，長度超過768位的金鑰，還無法破解（至少沒人公開宣布）。因此可以認為，1024位的rsa金鑰基本安全，2048位的金鑰極其安全。

下面，我就進入正題，解釋rsa演算法的原理。文章共分成兩部分，今天是第一部分，介紹要用到的四個數學概念。你可以看到，rsa演算法並不難，只需要一點數論知識就可以理解。

二、互質關係

如果兩個正整數，除了1以外，沒有其他公因子，我們就稱這兩個數是互質關係（coprime）。比如，15和32沒有公因子，所以它們是互質關係。這說明，不是質數也可以構成互質關係。

關於互質關係，不難得到以下結論：

1. 任意兩個質數構成互質關係，比如13和61。

2. 乙個數是質數，另乙個數只要不是前者的倍數，兩者就構成互質關係，比如3和10。

3. 如果兩個數之中，較大的那個數是質數，則兩者構成互質關係，比如97和57。

4. 1和任意乙個自然數是都是互質關係，比如1和99。

5. p是大於1的整數，則p和p-1構成互質關係，比如57和56。

6. p是大於1的奇數，則p和p-2構成互質關係，比如17和15。

三、尤拉函式

請思考以下問題：

任意給定正整數n，請問在小於等於n的正整數之中，有多少個與n構成互質關係？（比如，在1到8之中，有多少個數與8構成互質關係？）

計算這個值的方法就叫做尤拉函式，以φ(n)表示。在1到8之中，與8形成互質關係的是1、3、5、7，所以 φ(n) = 4。

φ(n) 的計算方法並不複雜，但是為了得到最後那個公式，需要一步步討論。

第一種情況

如果n=1，則 φ(1) = 1 。因為1與任何數（包括自身）都構成互質關係。

第二種情況

如果n是質數，則 φ(n)=n-1 。因為質數與小於它的每乙個數，都構成互質關係。比如5與1、2、3、4都構成互質關係。

第三種情況

如果n是質數的某乙個次方，即 n = p^k (p為質數，k為大於等於1的整數)，則

比如 φ(8) = φ(2^3) =2^3 - 2^2 = 8 -4 = 4。

這是因為只有當乙個數不包含質數p，才可能與n互質。而包含質數p的數一共有p^(k-1)個，即1×p、2×p、3×p、...、p^(k-1)×p，把它們去除，剩下的就是與n互質的數。

上面的式子還可以寫成下面的形式：

可以看出，上面的第二種情況是 k=1 時的特例。

第四種情況

如果n可以分解成兩個互質的整數之積，

n = p1 × p2

則φ(n) = φ(p1p2) = φ(p1)φ(p2)

即積的尤拉函式等於各個因子的尤拉函式之積。比如，φ(56)=φ(8×7)=φ(8)×φ(7)=4×6=24。

這一條的證明要用到"中國剩餘定理"，這裡就不展開了，只簡單說一下思路：如果a與p1互質(a可以看到，a的 φ(n)-1 次方，就是a的模反元素。

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