設它的遞推式為
\[r_0 = \alpha
\]\[r_n = r_＋\delta n^2 + \gamma n + \beta
\]已知 \(\alpha = \beta = \gamma = 0, \delta = 1\) 時，\(r_n=\sum_^n i^2\)
因為遞推式只與引數 \(\alpha, \beta, \gamma, \delta\) 相關，可以得出
\[r_n = a(n) \alpha + b(n) \beta + c(n) \gamma + d(n) \delta
\]那麼任意符合上面這個遞推式的都可以用這個一般形式得出，強調一下，無論 \(\alpha,\beta,\gamma,\delta\) 取什麼，\(a(n),b(n),c(n),d(n)\) 都是不變的
這啟發我們用一些簡單的函式來求解 \(a(n), b(n), c(n), d(n)\)
\[f_0 = 1 \to \alpha = 1
\]\[1 = 1 + \delta n^2 + \gamma n + \beta \to \delta = \gamma = \beta = 0
\]得出乙個關係式
\[1 = a(n)
\]\[f_0 = 0 \to \alpha = 0
\]\[n = n - 1 + \delta n^2 + \gamma n + \beta \to \delta = \gamma = 0, \beta = 1
\]又乙個關係式
\[n = b(n)
\]\[f_0 = 0 \to \alpha = 0
\]\[n^2=(n-1)^2 + \gamma n + \beta + \delta n^2 \to \delta = 0, \beta = -1, \gamma = 2
\]\[n^2 = -b(x) + 2c(n)
\]跟上面的式子聯立，可以解出 \(c(n) = \frac 2\)
\[f_0 = 0 \to \alpha = 0
\]\[n^3=(n-1)^3 + \gamma n + \beta + \delta n^2 \to \delta = 3, \beta = 1, \gamma = -3
\]可以解出
\[d(n) = n(n + \frac 1 2) (n + 1)
\]這個式子是不是有些眼熟，對，它就是平方和公式，只要把 \(\delta\) 設為 1，就可以發現 \(d(n) = \sum_ ^ n i^2\)，一開始設它的目的也是這個
從上面的例子可以看出，對已乙個遞推公式來說，最終的封閉形式只與項數 \(n\)，和其中的變數有關
因此我們可以設出封閉形式，並帶入簡單函式進行求解
需要注意的是，設出的函式必須可解，當帶入乙個簡單函式無法通過 \(\delta,\beta...\) 來得到遞推式時，要麼考慮換乙個函式，要麼增加乙個變數
這就需要通過做題來增加數學經驗了
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