斐波那契數列的幾種求解方法

快速冪

斐波那契數列，說起來大家都很熟悉，在練習程式設計的時候，也會經常被拿來作為例子

因為他的定義就是遞迴的，用它可以顯而易見地提出遞迴的思想，n=

0和n=

1 作為遞迴基，其他的數分別遞迴求解 fn

=fn−

1+fn

−2。

int fib(int n)

=f4+

f3, f4

=f3+

f2， f3

就被重複地計算了，重複的部分增加的非常快，一旦當

n 大於 40 多時，就已經很難進行計算了。

這裡我們可以利用動規的思想來進行計算，複雜度都能降到 o(

n)。也是最簡單的，可以先開乙個陣列，並且在每次計算出結果後，儲存下來，就可以避免重複計算。

int f[10000];

int fib(int n)

int fib(int n)

if(n<=2) return f[n];
for(int i=3; i
<=n; i++)
return f[2];
}

1)的複雜度了。

int f[10000];

int init()
int fib(int n)

n)的複雜度，已經是非常優秀的了，但是當我們需要求解很大的答案是，例如 1000000000 之類，那麼也是很耗費時間的，或者說我們需要查詢的次數比較少，比較分散，那麼我們浪費的空間就比較大。下面利用矩陣就是另外一種求解的方法。

利用矩陣的性質我們可以得到下面的結論 (f

n+1f

nfnf

n−1)

∗(11

10)=

(fn+

1+fn

fn+f

n−1f

n+1f

n)（利

用fib

數列的定

義）=(

fn+2

fn+1

fn+1

fn)

而我們令 n=1， 則 (f

n+1f

nfnf

n−1)

=(11

10)

綜上，我們可以得出這樣的結論 (f

n+1f

nfnf

n−1)

=(11

10)n

理論有了，我們就可以類推數的快速冪來計算矩陣的快速冪。

// 數的快速冪

int quick_pow(int a, int n)
return n;
}

// 矩陣快速冪

struct matrix
return temp;
}};int solve(int n)
return re.data[0][1];
}

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