首先，有乙個關於」運算元「的定義：如果乙個運算作用在函式上，則我們稱這個運算為「運算元」。
顯然，多項式的卷積、狄利克雷卷積等都是運算元。
在邁入高等數學的大門時，我們遇到過乙個強勁的運算元：微分運算元。$\text df(x) = \displaystyle \lim _\frac$. 由於微分運算元使用了無窮小，所以微分運算元用於連續數學。但是對於別的函式——它們只能在整數範圍內取值，微分運算元就無法通用。
面對離散數學，定義差分運算元 $\delta$: $\displaystyle \delta f(x)= f(x+1)-f(x)$。容易看出，差分運算元給出相鄰的整數之間函式值的差。
眾所周知，微分裡有乙個很妙的公式：$\text d(x^m)=m\cdot x^$.
差分有沒有類似的公式呢？
來考慮下降階乘冪：$x^ = x \cdot (x-1) \cdot (x-2)\cdots (x-m+1)$.
手推一番，我們發現 $\delta(x^)=m\cdot x^}$.
有什麼用？
牛頓-萊布尼茨公式：$g(x)=\text df(x)$，則有 $\displaystyle \int _a ^b g(x) = f(b) - f(a)$. 類似的，可以構造出和式：
首先，我們令 $\textstyle \sum _a^bf(x)=\displaystyle \sum_^f(x)$. 注意兩個 $\sigma$之間的區別
那麼有基本定理：
如果$g(x)=\delta f(x)$,則有$\textstyle \sum_a^b g(x) = f(b)-f(a)$.如何理解這個公式？舉個例子。假設我們找到了$g(x)=\delta f(x)$，那麼我們可以快速求出：
$\displaystyle \sum_^ g(x) =\textstyle \sum_^g(x)=f(n+1)-f(1)$
求$\displaystyle \sum_^x^2$.
首先，我們把$x^2$表示成下降階乘冪的形式，得到$g(x)=x^2=x(x-1)+x=x^+x^$. 然後構造$g(x)$的原函式：$f(x)=\fracx^+\fracx^=\frac+\frac$. 於是有$\displaystyle \sum_^x^2 = \textstyle \sum^_0g(x)=f(101)-f(0)=\frac+\frac =338350$，這就是有限微積分.
有限元方法與有限差分方法異同點
1.三種方法都是通過離散的方式求解微分方程，但離散方式不同，比如有限差分是用差分近似微分，有限元法是用插值函式來近似等 2.三種方法適應的問題不同，比如有限差分法適應線性的區域規則的問題，而有限元法可計算非線性不規則區域問題 3.三種方法都可以做到高精度。1。有限元法的相對優點和下述事實有關 在泛函...
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