1.1 字首和：字首和可以通過對乙個序列進行o（n）的預處理後，在o（1）時間內求出任意乙個子串行的和。
1.2 差分：可以用於求解多次區間修改與區間詢問的題型，例如多次次給[ l , r ] 內所有數 + val，就可以用差分以及字首和來優化。區間操作o（1），區間詢問o（n）處理，o（1）查詢。
1.3 樹上差分：同樣的，如果我們有若干次操作與若干次詢問，每次操作對從u 到 v 路徑上所有節點加乙個值，那麼我們用樹上差分可以將時間複雜度控制在o（1）上，詢問同樣是o（n）處理，o（1）查詢。
2.1 問題描述：給出一串長度為 n 的數列a1,a2,a3......an,再給出m個詢問，每次詢問給出l，r兩個數，要求給出區間[l,r]裡的數的和。
2.2 樸素思路：最簡單的做法就是設定乙個變數sum，將所有處在區間內的數累加到 sum 上，最後輸出sum的值即為答案。但是這樣的時間複雜度為o（nm），難以接受。
2.3 字首和：假設我們開乙個陣列sum，sum[ i ]存放數列中前 i 個元素的和，即
3.1 問題描述：給出一串長度為 n 的數列a1,a2,a3......an ,給出k次操作，每次操作給出l、r、val，要求對[l , r]內所有元素加上val，再給出m個詢問，每次詢問給出l，r兩個數，要求給出區間[l,r]裡的數的和。
3.2 樸素思路：很容易想到的做法就是每次給出l r 和 val後，我們就挨個對[ l, r ] 內所有元素+val，再在詢問時將答案挨個加起來。這樣時間複雜度為o（kmn），不能接受。
3.3 差分：
既然之前我們可以用字首和來進行優化，這裡我們是否也可以用字首和試著優化呢？
假設 sum 陣列初始值全是為 0 ，如果我們要將 [ l , r ] 上所有元素 + val，那麼我們設sum[ l ] = val，sum[ r ] = -val。這樣一來當我們詢問時，我們對sum陣列進行一次更新，即sum[ i ] = sum[ i - 1 ] + ai；那麼此時的sum陣列就是在進行 k 次操作後的陣列的字首和陣列。
根據2.3我們可知，這樣查詢的效率為o（1），於是時間複雜度就成了o（k+n）。
4.1 問題描述：
4.2 樸素思路：不用多想，最暴力的做法就是我們找到 u 到 v 路徑上的所有點並+1（可以利用lca）。最後再遍歷所有點查詢權值最大的點並輸出。這樣時間複雜度為o（kn），這還不包括 lca 查詢路徑的時間。
4.3 求u到v的路徑：求那麼我們知道，如果假設我們要考慮的是從u到v的路徑，u 與 v 的 lca 是 a ，那麼很明顯，如果路徑中有一點 u′ 已經被訪問了，且 u′ ≠ a ，那麼 u' 的父親也一定會被訪問。所以，我們可以將路徑拆分成兩條鏈，u -> a 和 a -> v。
4.4 樹上差分：常見的樹上差分有兩種形式，即
4.4.1 關於邊的差分：
將邊拆成兩條鏈之後，我們便可以像差分一樣來找到路徑了。用 cf[ i ] 代表從i到i的父親這一條路徑經過的次數。因為關於邊的差分，a 是不在其中的，所以考慮鏈 u -> a，則就要使cf[ u ]++，cf[ a ]−−。然後鏈a -> v，也是cf[ v ]++，cf[ a ]−−。所以合起來便是cf[ u ]++，cf[ v ]++，cf[ a ]−=2。然後，從根節點，對於每乙個節點x，都有如下的步驟：
（1）列舉x的所有子節點u
（2）dfs所有子節點u
（3）cf[ x ] + = cf[ u ]
那麼，為什麼能夠保證這樣所有的邊都能夠遍歷到呢？因為我們剛剛已經說了，如果路徑中有一點u′已經被訪問了，且u′≠a，那麼u′的父親也一定會被訪問。所以u′被訪問幾次，它的父親也就因為u′被訪問了幾次。所以就能夠找出所有被訪問的邊與訪問的次數了。路徑求交等一系列問題就是通過這個來解決的。因為每個點都只會遍歷一次，所以其時間複雜度為θ(n).
4.4.2 關於點的差分：
還是與和邊的差分一樣，對於所要求的路徑，拆分成兩條鏈。步驟也和上面一樣，但是也有一些不同，因為關於點，u與v的lca是需要包括進去的，所以要把lca包括在某一條鏈中，用cf[ i ] 表示 i 被訪問的次數。最後對 cf 陣列的操作便是cf[ u ]++，cf[v]++，cf[ a ]−−，cf[ father[a] ]−−。其時間複雜度也是一樣的θ(n).
暖 墟 差分 字首和與差分
即 用sum i 表示a 1 a i 的和。用處1 求i j的和 sum j sum i 1 連續欄位和 用處2 區間修改。設定change陣列。當區間 i,j 上要加k時，我們令change i k，令change j 1 k。如果我們對change陣列求字首和的話，字首和sum change i...
字首和與差分
數列的字首和 sum i 表示a 1 a i 的和 用處1 求i j的和sum j sum i 1 用處2 區間修改。設定乙個change陣列。當區間 i,j 上要加k時，我們令change i k，令change j 1 k。如果我們對change陣列求字首和的話，字首和sum change i ...
字首和與差分
從陣列第乙個開始累加 s i s i 1 a i 求區間 l,r 的和，o 1 複雜度sum s r s l 1 遞推s i j s i j s i 1 j s i j 1 s i 1 j 1 例題 雷射炸彈一種新型的雷射炸彈，可以摧毀乙個邊長為r的正方形內的所有的目標。現在地圖上有n n 1000...