設矩陣 \(a,b,c\) 均為 \(n\) 階方陣，\(n=2^k,k\in z\)
給定 \(a_=\left(a_\right),b_=\left(b_\right)\) ，求解 \(c_=a_\cdot b_\)
將矩陣 \(a,b,c\) 進行分塊，使得分塊後各個子矩陣均為 \(\) 階方陣，記 \(a=\left(
\begin
a_&a_
\\ a_&a_
\end
\right),b=\left(
\begin
b_&b_
\\ b_&b_
\end
\right),c=\left(
\begin
c_&c_
\\ c_&c_
\end
\right)\)
則由矩陣分塊乘法可得：
\(c_=a_b_+a_b_\)
\(c_=a_b_+a_b_\)
\(c_=a_b_+a_b_\)
\(c_=a_b_+a_b_\)
由觀察可得，分塊後需要對 \(\) 階方陣進行 \(8\) 次矩陣乘法與 \(4\) 次矩陣加法
設分塊後需要將矩陣進行 \(a\) 次矩陣乘法與 \(b\) 次矩陣加法，以及 \(c\) 次的某 \(o(n)\) 操作， \(d\) 次的某 \(o(1)\) 操作
不難列出複雜度遞推式：\(t(n)=at()+bn^2+cn+d\)
代入 \(n=2^k\) 得 \(t(k)=at(k-1)+b\cdot 4^k+c\cdot 2^k+d\)
通過解遞推方程可得： \(t(k)=a^k+\cdot 4^k+\cdot 2^k+,a>4\)
代回 \(2^k=n\) 得 \(t(n)=n^+n^2+n+=n^+n^2+o(n^2)\)
因此，代入樸素矩陣分塊的數值 \(a=8,b=4\) 得 \(t(n)=n^+n^2+o(n^2)=n^3-n^2+o(n^2)=o(n^3)\)
在漸進意義下，與普通矩陣乘法無複雜度差別
記錄以下中間矩陣：
\(s_1=b_-b_\)
\(s_2=a_+a_\)
\(s_3=a_+a_\)
\(s_4=b_-b_\)
\(s_5=a_+a_\)
\(s_6=b_+b_\)
\(s_7=a_-a_\)
\(s_8=b_+b_\)
\(s_9=a_-a_\)
\(s_=b_+b_\)
然後再記錄：
\(p_1=a_\cdot s_1\)
\(p_2=s_2\cdot b_\)
\(p_3=s_3\cdot b_\)
\(p_4=a_\cdot s_4\)
\(p_5=s_5\cdot s_6\)
\(p_6=s_7\cdot s_8\)
\(p_7=s_9\cdot s_\)
最後即可得到：
\(c_=p_5+p_4-p_2+p_6\)
\(c_=p_1+p_2\)
\(c_=p_3+p_4\)
\(c_=p_5+p_1-p_3-p_7\)
o(n^)\)
由於複雜度滿足 \(t(n)=n^+n^2+o(n^2)\) ，故如果能通過矩陣間的線性組合，進一步減小矩陣乘法的次數，則漸進複雜度還將更優
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