Strassen矩陣乘法

矩陣乘法是線性代數中最常見的運算之一，它在數值計算中有廣泛的應用。若a和b是2個n×n的矩陣，則它們的乘積c=ab同樣是乙個n×n的矩陣。a和b的乘積矩陣c中的元素c[i,j]定義為:　

若依此定義來計算a和b的乘積矩陣c，則每計算c的乙個元素c[i,j]，需要做n個乘法和n-1次加法。因此，求出矩陣c的n2個元素所需的計算時間為0(n3)。

60年代末，strassen採用了類似於在大整數乘法中用過的分治技術，將計算2個n階矩陣乘積所需的計算時間改進到o(nlog7)=o(n2.18)。

首先，我們還是需要假設n是2的冪。將矩陣a，b和c中每一矩陣都分塊成為4個大小相等的子矩陣，每個子矩陣都是n/2×n/2的方陣。由此可將方程c=ab重寫為:

(1)

由此可得:　

c11=a11b11+a12b21 (2)

c12=a11b12+a12b22 (3)

c21=a21b11+a22b21 (4)

c22=a21b12+a22b22 (5)

如果n=2，則2個2階方陣的乘積可以直接用(2)-(3)式計算出來，共需8次乘法和4次加法。當子矩陣的階大於2時，為求2個子矩陣的積，可以繼續將子矩陣分塊，直到子矩陣的階降為2。這樣，就產生了乙個分治降階的遞迴演算法。依此演算法，計算2個n階方陣的乘積轉化為計算8個n/2階方陣的乘積和4個n/2階方陣的加法。2個n/2×n/2矩陣的加法顯然可以在c*n2/4時間內完成，這裡c是乙個常數。因此，上述分治法的計算時間耗費t(n)應該滿足：

這個遞迴方程的解仍然是t(n)=o(n3)。因此，該方法並不比用原始定義直接計算更有效。究其原因，乃是由於式(2)-(5)並沒有減少矩陣的乘法次數。而矩陣乘法耗費的時間要比矩陣加減法耗費的時間多得多。要想改進矩陣乘法的計算時間複雜性，必須減少子矩陣乘法運算的次數。按照上述分治法的思想可以看出，要想減少乘法運算次數，關鍵在於計算2個2階方陣的乘積時，能否用少於8次的乘法運算。strassen提出了一種新的演算法來計算2個2階方陣的乘積。他的演算法只用了7次乘法運算，但增加了加、減法的運算次數。這7次乘法是:　

m1=a11(b12-b22)

m2=(a11+a12)b22

m3=(a21+a22)b11

m4=a22(b21-b11)

m5=(a11+a22)(b11+b22)

m6=(a12-a22)(b21+b22)

m7=(a11-a21)(b11+b12)

做了這7次乘法後，再做若干次加、減法就可以得到:　

c11=m5+m4-m2+m6

c12=m1+m2

c21=m3+m4

c22=m5+m1-m3-m7

以上計算的正確性很容易驗證。例如:　

c22=m5+m1-m3-m7

=(a11+a22)(b11+b22)+a11(b12-b22)-(a21+a22)b11-(a11-a21)(b11+b12)

=a11b11+a11b22+a22b11+a22b22+a11b12

-a11b22-a21b11-a22b11-a11b11-a11b12+a21b11+a21b12

=a21b12+a22b22　

由(2)式便知其正確性。

至此，我們可以得到完整的strassen演算法如下：

procedure strassen(n,a,b,c);

begin

if n=2 then matrix-multiply(a，b，c)

else begin

將矩陣a和b依(1)式分塊;

strassen(n/2,a11,b12-b22,m1);

strassen(n/2,a11+a12,b22,m2);

strassen(n/2,a21+a22,b11,m3);

strassen(n/2,a22,b21-b11,m4);

strassen(n/2,a11+a22,b11+b22,m5);

strassen(n/2,a12-a22,b21+b22,m6);

strassen(n/2,a11-a21,b11+b12,m7);

; end;

end;

其中matrix-multiply(a，b，c)是按通常的矩陣乘法計算c=ab的子演算法。

strassen矩陣乘積分治演算法中，用了7次對於n/2階矩陣乘積的遞迴呼叫和18次n/2階矩陣的加減運算。由此可知，該演算法的所需的計算時間t(n)滿足如下的遞迴方程:

按照解遞迴方程的套用公式法，其解為t(n)=o(nlog7)≈o(n2.81)。由此可見，strassen矩陣乘法的計算時間複雜性比普通矩陣乘法有階的改進。

有人曾列舉了計算2個2階矩陣乘法的36種不同方法。但所有的方法都要做7次乘法。除非能找到一種計算2階方陣乘積的演算法，使乘法的計算次數少於7次，按上述思路才有可能進一步改進矩陣乘積的計算時間的上界。但是hopcroft和kerr(197l)已經證明，計算2個2×2矩陣的乘積，7次乘法是必要的。因此，要想進一步改進矩陣乘法的時間複雜性，就不能再寄希望於計算2×2矩陣的乘法次數的減少。或許應當研究3×3或5×5矩陣的更好演算法。在strassen之後又有許多演算法改進了矩陣乘法的計算時間複雜性。目前最好的計算時間上界是o(n2.367)。而目前所知道的矩陣乘法的最好下界仍是它的平凡下界ω(n2)。因此到目前為止還無法確切知道矩陣乘法的時間複雜性。關於這一研究課題還有許多任務作可做。

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Strassen矩陣乘法

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