(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 6ab3 + b4
(a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5
(a + b)6 = a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + 6ab5 + a6
(a + b)n = ?
在二項式 (a + b)n 中，每一單項式的次數和都等於n，把每一項的係數列出來，可以得到乙個楊輝三角：三角形左邊和右邊的數字全都是1，而內部的每乙個數字都是連線到它的上端的兩個數字之和。內部的數字究竟還有其他什麼特徵？
n次冪對應的項數共有 n + 1 項，而且每一行的數字都是對稱的。從外往內看，每一行順數和倒數的第2個數字都是n，nc1 = ncn
順數和倒數的第3個數字都 nc2 = ncn
所以楊輝三角又可以表示為以下形式
左邊上的「1」實際是nc0，左邊上的「1」實際是ncn，每一行的第k項的係數都是ncn
–k+1。從左向右排列為：
用組合解釋如下：(a + b)n就是n個 (a + b) 相乘，每個(a + b) 相乘時有兩種選擇，選a或b，而且每個(a + b)中的a或b都選定後，才能得到展開式的一項。
把n個 (a + b) 中的所有的a相乘，得到an ；
把n個 (a + b) 中的 (n – 1) 個a與剩下的最後乙個 (a + b) 中的b相乘，得到an
–1b ；
把n個 (a + b) 中的 (n – 2) 個a與剩下的最後兩個(a + b) 中的b相乘，得到an–2b2 ；
把n個 (a + b) 中的 (n – k) 個a與剩下的k個(a + b) 中的b相乘，得到an–kbk ；
把n個 (a + b) 中的所有的b相乘，得到bn ；
an–kbk 出現的次數 = n個(a + b) 中取k個b的組合數nck
把(a + b)n展開得到
這就是二項式定理（binomial theorem）。
二項式定理與楊輝三角
問題 求 a b n中各項的係數。方法一 利用楊輝三角 11 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 a b 1 a b a b 2 a 2 2ab b 2 a b 3 a 3 3b a 2 3a b 2 b 3 兩者對比可以...
數論 楊輝三角 二項式定理
組合數c n,m 在組合數學中占有重要地位。與組合數相關的最重要的兩個內容是楊輝三角和二項式定理。如圖 另一方面，把 a b n展開，將得到乙個關於x的多項式 a b 0 1 a b 1 a b a b 2 a 2 2ab b 2 a b 3 a 3 3a 2b 3ab 2 b 3 a b 4 a ...
走格仔問題（補充 楊輝三角與二項式）
這篇是對前一篇 鏈結 的補充 關於走格仔問題，簡化一點即 兩維座標系中，僅能一次沿x或y走一步，從原點走到 x,y 的最短路徑數 看到一篇對這個問題解讀比較清楚的文章 鏈結 最後的遞迴思路我在前一篇文章中也有描述，不再贅述。從前一篇文章已經知道，可以用遞迴思路求解，求解的結果矩陣就是乙個楊輝三角，問...