楊輝三角與組合數

相信大部分oier已經對楊輝三角很熟悉了，我第一次做楊輝三角的時候是剛學完for迴圈，有一道題是列印楊輝三角的，那時起，我就對這個幾何圖形的構造方式充滿了興趣。最近，在老師的引導下，我學習了有關楊輝三角的乙個小秘密。本文將簡單介紹楊輝三角與組合數之間的聯絡。

如果將(a+

b)n(a+b)^n

(a+b)n

(n

nn為非負整數)的每一項按字母a

aa的次數由小到大排列，就可以得到下面的等式：

( a+

b)0=

1(a+b)^0=1

(a+b)0

=1，它只有一項，係數為111；

( a+

b)1=

a+b(a+b)^1=a+b

(a+b)1

=a+b

，它有兩項，係數分別是1

11，111；

( a+

b)2=

a2+2

ab+b

2(a+b)^2=a^2+2ab+b^2

(a+b)2

=a2+

2ab+

b2，它有三項，係數分別是1

11，2

22，111；

( a+

b)3=

a3+3

a2b+

3ab2

+b3(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3

(a+b)3

=a3+

3a2b

+3ab

2+b3

，它有三項，係數分別是1

11，3

33，3

33，111；

……觀察右表，我們發現每一行的首末都是1，並且下一行的數比上一行多1個，中間各數都寫在上一行兩數中間，且等於它們的和，按照這個規律可以繼續將這個表寫下去：

**於網路，文段選自《北師大版義務教育教科書·數學》七年級下冊第25頁

b)n(a+b)^n

(a+b)n

的展開問題，通過發掘(a+

b)0(a+b)^0

(a+b)0

，( a+

b)1(a+b)^1

(a+b)1

，( a+

b)2(a+b)^2

(a+b)2

，( a+

b)3(a+b)^3

(a+b)3

的展開式，尋找到了展開式項數規律與各項係數的規律，將這兩個規律進行有序排列，得到了楊輝三角。

組合數是指從n

nn個元素中選出m

mm個元素的所有組合個數，在高中數學作為選修課程，在資訊學競賽中作為必修課程，不僅出現在noip初賽，還有可能隱含在上機測試的題目中。

通用計算公式：cnm

=n!m

!(n−

m)!,

cn0=

1c^_=\frac,c^_=1

cnm​=m

!(n−

m)!n

!​,c

n0​=

1如果在求多個組合數的問題情況下，用程式實現組合數計算公式的時間複雜度會大大增加，下面通過楊輝三角與組合數的聯絡，使這時間複雜度降低。

解決問題：用動態規劃求從n

nn個元素中選出m

mm個元素的所有組合個數

設f [i

][j]

f[i][j]

f[i][j

]為已在i

ii個元素中抽取了j

jj將這兩種情況加起來便是f[i

][j]

f[i][j]

f[i][j

]的結果，由此得出式子:f[i

][j]

=f[i

−1][

j]+f

[i−1

][j−

1]f[i][j]=f[i-1][j]+f[i-1][j-1]

f[i][j

]=f[

i−1]

[j]+

f[i−

1][j

−1]

邊界條件：

**

#

include
using
namespace std;
int n,m;
int f[
1005][
1005];
intmain()
for(
int i=
1;i<=n;i++
)for
(int j=
1;j)			f[i]
[j]=f[i-1]
[j]+f[i-1]
[j-1];
cout<
[m];
return0;
}

ff陣列按矩陣的格式輸出，且去掉矩陣中多餘的0：

for

(int i=
0;i<=
5;i++
)

程式輸出了楊輝三角！！！並且楊輝三角中第i

ii行第j

jj列的數字正是cij

c^_ci

j​的結果！！！通過動態規劃這座橋梁，我們可以將組合數與楊輝三角聯絡起來，從今以後憑藉著f[i

][j]

=f[i

−1][

j]+f

[i−1

][j−

1]f[i][j]=f[i-1][j]+f[i-1][j-1]

f[i][j

]=f[

i−1]

[j]+

f[i−

1][j

−1]這個原理，我們在資訊學競賽的道路上，又多了一大解題利器。

組合數（楊輝三角）

原來組合數和楊輝三角是有關係的 楊輝三角上的每乙個數字都等於它的左上方和右上方的和 除了邊界 第n行，第m個就是，就是c n,m 從0開始 所以以後求楊輝三角或者組合數都可以用到下面的遞推公式 includeconst int n 2000 5 const int mod int 1e9 7 int...

組合數 楊輝三角

不難想到，我們可以用二維陣列來實現。上 include intmain i,j scanf d n for i 1 i n i a i 1 1 for i 2 i n i for i 1 i n i printf n return0 這樣我們實現了楊輝三角。更近一步，我們得到 用遞迴的辦法來實現也可...

楊輝三角（組合數） 排列組合

一道虐我的數學題，今天太累了，就簡單聊聊思想核心 題目如下 特斯拉公司的六位密碼被輕鬆破解後，引發了人們對電動車的安全效能的懷疑。李華聽聞後，自己設計了一套密碼 假設安全系統中有n個儲存區，每個儲存區最多能儲存存2個種類不同的訊號 可以不儲存任何訊號 有0和1這兩種訊號，其中0有a個，1有b個，單獨...