普通的牛頓二項式定理在高中學習過的，當乘方為正整數的時候，但是有些時候需要用到不一定是正整數的情況（比如生成函式），需要用到分數或者負數等等，於是廣義牛頓二項式定理就出來了。
首先我們引入牛頓二項式係數$$。
牛頓二項式係數定義:
設r為實數，n為整數，引入形式符號
$$=\begin
0， & n<0\\
1， & n=0\\
\frac， & n>0
\end$$
廣義牛頓二項式定理：
$(x+y)^=\sum_^\inftyx^y^$
其中x，y，α為實數，且$\mid\frac\mid<1$
證明：
證明需要用到數學分析的知識，沒學過的話，應該看不懂2333。
令$z=\frac$則有：
$(x+y)^=y^(1+z)^，\mid z\mid <1$
設$f(z)=(1+z)^$，於是有：
$f^(z)=\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)(1+z)^$
因此，當z0=0時，這個函式的泰勒公式（此時應該稱為麥克勞林展開式）有如下形式：
$(1+z)^ =1+\fracz+\fracz^+\cdots +\fracz^+r_n(0;z)$
也就是：
$(1+z)^=1+z+z^+\cdots +z^+r_n(0;z)$
將餘項使用柯西公式得：
$r_n(0;z)=\frac(1+ξ)^(z-ξ)^z$
其中ξ介於0到z之間.
將餘項變形一下可得:
$r_n(0;z)=\alpha (1-\frac)\cdots (1-\frac)(1+ξ)^(\frac)^z$
因為當$\mid z\mid <1$的時候，從ξ在0和z之間這個條件可以推出:
$\mid \frac\mid =\frac\leq \frac=1-\frac\leq 1-(1-\mid z\mid)=\mid z\mid$
於是$\mid r_n(0;z)\mid \leq\mid \alpha (1-\frac)\cdots (1-\frac)\mid (1+ξ)^\mid z\mid ^$
因為$\mid r_(0;z)\mid\leq\mid r_n(0;z)\mid \times \mid (1-\frac)z\mid$又因為$\mid z\mid <1$，所以，如果$\mid z\mid 這時對於式子$y^(1+z)^，\mid z\mid <1$將左邊展開成無窮級數再將$y^\alpha$乘上就得到了我們的$(x+y)^=\sum_^\inftyx^y^$
當$\mid z\mid >1$時，由達朗貝爾比值檢驗法可以得出，只要$\alpha\notin\mathbb$，級數(*)總是發散的。
特別地，當$\alpha\in\mathbb$時，對函式$f(z)$來說，任意高於n階的導數均為0，餘項為0，直接展開就完事了，展開得到的就是高中學過的二項式定理。
參考資料卓里奇的《數學分析》與屈婉玲《離散數學》
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