下文中，記$c^k_n$為$\binom$
二項式定理$$(x+y)^n = \sum\limits_^\binomx^y^$$
證明非常簡單，由於合併同類項以後最多只有$n+1$項，按$x$的指數從大到小排列後：對於任意一項$x^y^$，相當於從$n$個$(x+y)$中，選出$n-k$項乘$x$。也就是組合數$\binom=\binom$
[ 推論 1 ] $\sum\limits_^\binom=2^n$
這也就是二項式定理的特殊情況，也就是對於所有的$x^y^k$都為$1$，因此$x=y=1$。
$$2^n = (1+1)^n =\sum\limits_^\binom1^1^k$$
[ 推論 2 ]
$\sum\limits_^(-1)^k\binom=0$
思路完全一樣，我們發現$\binom$始終存在，也就不需要去改變。也就意味著$x^y^k=(-1)^k$，顯然可以滿足$x=1,y=-1$
$$0=(1+(-1))^n=\sum\limits_^\binom1^(-1)^k$$
[ 推論 3 ] $\sum\limits_^\binom2^k=3^n$
還是不看$1$就好了。$x+y=3, x^y^k=2^k$，則$x=1,y=2$
$$3^n=(1+2)^n=\sum\limits_^\binom1^2^k$$
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