01揹包是在m件物品取出若干件放在空間為w的揹包裡，每件物品的體積為w1，w2……wn，與之相對應的價值為p1,p2……pn。求能獲得的最大總價值。
v[i,j]表示從前i件物品中取出的，能裝入體積為j的揹包的物品的最大總價值。
初始化條件：
v[i,0]和v[0,j]都為0，我們從其意義上就可以理解。
狀態轉移方程：
v[i,j]=max ，前後分別為第i件物品不取和取得情況。
總的就是下面的遞推式：
表的大小為n*c，所以演算法的時間複雜度為θ(nc)，經過一些修改空間複雜度可以控制在θ(c)內。
1.θ(nc)的空間。
for(int i=0;i<=v;i++) dp[0][i]=0; // 初始條件
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int v=c[i];v<=v;v++)
}cout<2.在空間上做一些優化，θ(c)的空間。for(int i=0;i<=v;i++) dp[i]=0; // 初始條件
for(int i=1;i<=n;i++)
}cout我們知道原來**中的二維陣列的i是為了表示在前i個物品中做選擇，同時也標誌第i個物品是否已經選取了。
每次決策的時候是決定第i個物品是否要選取。比如，對dp[i-1][v-ci]我們知道第i個物品並沒有選取，而對於dp[i][v-ci]我們可以知道第i個物品已經被選取了，我們每次自從前面乙個狀態（i-1）來決策第i個是否要選。
而空間優化的**通過另外一套機制來保證乙個物品只選一次。
我們可以看到第二個**中的v是按逆序迴圈的，這樣做是很有必要的：
這是因為要保證第i次迴圈中的狀態dp[v]是由狀態dp[v-c]遞推而來。換句話說，這正是為了保證每件物品只選一次，保證在考慮「選入第i件物品」這件策略時，依據的是乙個沒有已經選入第i件物品的子結果dp[v-ci]（如果已經選入了，即dp[v]已經完成狀態轉移方程，不會再進行）。
有n件物品和乙個容量為v的揹包。放入第i件物品所耗的容量為ci，得到的價值為wi，但是同一件物品可以放入任意多件，問您最多可以獲得多少價值。
這裡與01揹包不同的是每一件物品可以選任意多件，我們只需要在狀態轉移方程上進行一些改動：
v[i][j]=max
這裡的k表示的是第i件物品選取的數量，在程式中，我們只需為k多進行乙個迴圈，並注意k的取值範圍，就可以解決完全揹包問題。
f[0] ←
f[0] ←
for i←1 to n
do for j←1 to v
do for k←0 to j/c[i]
if(j >= k*c[i])
then f[i][k] ← max(f[i][k],f[i-1][j-k*c[i]]+k*w[i])
return f[n][v]
直接放**：
for(int i=0;i<=v;i++) dp[i]=0; // 初始條件
for(int i=1;i<=n;i++)
}這裡和01揹包的空間優化**差不多，改變的是v的迴圈順序。前面v逆序迴圈的目的是為了保證每件物品只選擇一次，改為正序迴圈後，每件物品選擇的次數可以是任意的。
看下面這個例子dp[v-ci]後選擇了第i件物品變為dp[v]，而dp[(v+ci)-ci]仍然可以選擇第i件物品，變為dp[v+ci]。
有n件物品和乙個容量為v的揹包。放入第i件物品所耗的容量為ci，得到的價值為wi，但是第i件物品最多可以放入mi件，問您最多可以獲得多少價值。
（1）二維陣列的做法
與前面兩種揹包的做法類似，只在狀態轉移方程上做一些更改。
dp[i][v]=max
就不貼**了。
（2）轉化為01揹包
空間優化的做法是將其轉化為01揹包，並採用二進位制的做法進行拆分，即拆分成1件、2件、4件...。
for(int i=1;i=0;k*=2)
num-=mul; // 分完那堆之後從總數上扣掉 }}
#include
using namespace std;
const int n = 3;//物品個數
const int v = 8;//揹包容量
int weight[n + 1] = ;
int value[n + 1] = ;
int num[n + 1] = ;
int f[v + 1] = ;
/*f[v]:表示把前i件物品放入容量為v的揹包中獲得的最大收益。
f[v] = max(f[v],f[v - weight[i]] + value[i]);
v的為逆序
*/void zeroonepack(int nweight,int nvalue)}
/*f[v]:表示把前i件物品放入容量為v的揹包中獲得的最大收益。
f[v] = max(f[v],f[v - weight[i]] + value[i]);
v的為增序
*/void completepack(int nweight,int nvalue)}
int multiknapsack()
else
zeroonepack(ncount * weight[i],ncount * value[i]);}}
return f[v];}
int main()
{cout<
動態規劃 揹包問題
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