卡特蘭數： - -！
24、問題描述：
12個高矮不同的人,排成兩排,每排必須是從矮到高排列,而且第二排比對應的第一排的人高,問排列方式有多少種?
這個筆試題,很yd,因為把某個遞迴關係隱藏得很深.
問題分析:
我們先把這12個人從低到高排列,然後,選擇6個人排在第一排,那麼剩下的6個肯定是在第二排.
用0表示對應的人在第一排,用1表示對應的人在第二排,那麼含有6個0,6個1的序列,就對應一種方案.
比如000000111111就對應著
第一排:0 1 2 3 4 5
第二排:6 7 8 9 10 11
010101010101就對應著
第一排:0 2 4 6 8 10
第二排:1 3 5 7 9 11
問題轉換為,這樣的滿足條件的01序列有多少個.
觀察1的出現,我們考慮這乙個出現能不能放在第二排,顯然,在這個1之前出現的那些0,1對應的人
要麼是在這個1左邊,要麼是在這個1前面.而肯定要有乙個0的,在這個1前面,統計在這個1之前的0和1的個數.
也就是要求,0的個數大於1的個數.
ok,問題已經解決.
如果把0看成入棧操作,1看成出棧操作,就是說給定6個元素,合法的入棧出棧序列有多少個.
這就是catalan數,這裡只是用於棧,等價地描述還有,二叉樹的列舉,多邊形分成三角形的個數,圓括弧插入公式中的
方法數,其通項是c(2n, n)/(n+1)。
令h(0)=1,h(1)=1，catalan數滿足遞迴式：
h(n)= h(0)*h(n-1) + h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (其中n>=2),這是n階遞推關係;
還可以化簡為1階遞推關係: 如h(n)=(4n-2)/(n+1)*h(n-1)(n>1) h(0)=1
該遞推關係的解為：h(n)=c(2n,n)/(n+1)=p(2n,n)/(n+1)!=(2n)!/(n!*(n+1)!)(n=1,2,3,...)
卡 塔蘭數例的前幾項為(sequence a 0 0 0 1 0 8 in oeis) [注： n = 0, 1, 2, 3, … n]
1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, …
我並不關心其解是怎麼求出來的，我只想知道怎麼用catalan數分析問題。
我總結了一下，最典型的三類應用：（實質上卻都一樣，無非是遞迴等式的應用，就看你能不能分解問題寫出遞迴式了）
1.括號化問題。
矩陣鏈乘： p=a0×a1×a2×a3×……×an，共有（n+1）項，依據乘法結合律，不改變其順序，只用括號表示成對的乘積，試問有幾種括號化的方案？(h(n)種)
類似題目：有n個節點的二叉樹共有多少種情形？
2.出棧次序問題。
乙個棧(無窮大)的進棧序列為1,2,3,..n,有多少個不同的出棧序列?
類似題目：有2n個人排成一行進入劇場。入場費5元。其中只有n個人有一張5元鈔票，另外n人只有10元鈔票，劇院無其它鈔票，問有多少中方法使得只要有10元的人買票，售票處就有5元的鈔票找零？(將持5元者到達視作將5元入棧，持10元者到達視作使棧中某5元出棧)
形如這樣的直角三角形網格，從左上角開始，只能向右走和向下走，問總共有多少種走法？
問題的由來：編號為 1 到 n 的 n 個元素，順序的進入乙個棧，則可能的出棧序列有多少種？
對問題的轉化與思考：n 個元素進棧和出棧，總共要經歷 n 次進棧和 n 次出棧。這就相當於對這 2n 步操作進行排列。
乙個模型：乙個 n*n 的正方形網格，從左上角頂點到右下角頂點，只能向右走和向下走。問共有多少種走法。如果將向右走對應上述問題的出棧，向下走對應上述問題的進棧，那麼，可 以視此模型為對上述問題的具體描述。而解決此問題，只要在總共從左上角到右下角的2n步中，選定向右走的步數，即共有c(n 2n)中走法。
但是存在乙個問題，如果走法越過了對角線，那麼對應到上述問題是出棧數比入棧數多，這是不符合實際的。
對以上模型進行處理，對角線將以上正方形網格分成兩部分，只留下包含對角線在內的下半部分，那麼就不會出現越過對角線的問題。而這問題就是開始提出的問題。
問題等價於：n個1和n個0組成一2n位的2進製數，要求從左到右掃瞄，1的累計數不小於0的累計數，試求滿足這條件的數有多少？
解答： 設p2n為這樣所得的數的個數。在2n位上填入n個1的方案數為 c（n 2n）
不填1的其餘n位自動填以數0。從c（n 2n）中減去不符合要求的方案數即為所求。
不合要求的數指的是從左而右掃瞄，出現0的累計數超過1的累計數的數。
不合要求的數的特徵是從左而右掃瞄時，必然在某一奇數2m+1位上首先出現m+1個0的累計數，和m個1的累計數。
此 後的2（n－m）－1位上有n－m個1，n－m－1個0。如若把後面這部分2（n－m）－1位，0與1交換，使之成為n－m個0，n－m－1個1，結果得 1個由n+1個0和n－1個1組成的2n位數，即乙個不合要求的數對應於乙個由n－1個1和n+1個0組成的乙個排列。
反過來，任何乙個 由n+1個0，n－1個1組成的2n位數，由於0的個數多2個，2n是偶數，故必在某乙個奇數字上出現0的累計數超過1的累計數。同樣在後面的部分，令0 和1互換，使之成為由n個0和n個1組成的2n位數。即n+1個0和n－1個1組成的2n位數，必對應於乙個不合要求的數。
用上述方法建立了由n+1個0和n－1個1組成的2n位數，與由n個0和n個1組成的2n位數中從左向右掃瞄出現0的累計數超過1的累計數的數一一對應。
例如 10100101
是由4個0和4個1組成的8位2進製數。但從左而右掃瞄在第5位（顯示為紅色）出現0的累計數3超過1的累計數2，它對應於由3個1，5個0組成的10100010。
反過來 10100010
對應於 10100101
因而不合要求的2n位數與n+1個0，n－1個1組成的排列一一對應，故有
p2n = c（n 2n）— c（n+1 2n）
這個結果是乙個「卡塔蘭數」catalan
3.將多邊行劃分為三角形問題。
將乙個凸多邊形區域分成三角形區域的方法數?
類似題目：一位大城市的律師在她住所以北n個街區和以東n個街區處工作。每天她走2n個街區去上班。如果他
從不穿越（但可以碰到）從家到辦公室的對角線，那麼有多少條可能的道路？
類似題目：在圓上選擇2n個點,將這些點成對連線起來使得所得到的n條線段不相交的方法數?
1330 出棧序列統計 卡特蘭數
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