譯文**
原文**
連續小波變換的計算
對上面公式的解釋將在本節中進行詳細說明。以x(t)作為被分析的訊號。選用的小波作為訊號處理中用到的所有窗函式的原型。應用的所有窗都是母小波的放大（或縮小）和平移版本。有很多函式可以滿足這個條件。morlet小波和墨西哥帽小波（mexican hat）是其中最有代表性的，本章中後面部分中所舉的例子也會用這兩個小波進行小波分析。
一旦選擇了母小波，就可以從s=1開始計算了，連續小波變換就是計算對應所有值的s，或者小於1，或者大於1。不過，與要分析的訊號有關，一般不需要完整的變換。對所有的應用來說，訊號是有頻寬限制的，因此，在有限時間內做變換就經常能夠滿足要求了。在這篇文章裡的後續部分，只用到s在有限時間內的值。
為方便起見，計算過程將會始於s=1，然後s值逐漸增大，即分析將會從高頻開始，然後逐步到低頻。s的第乙個值是對大多數縮小的小波的反映。隨著s增大，小波逐漸被放大。
小波要被放在訊號的最初點，即t=0時刻。用尺度為1的小波函式與訊號相乘，然後在所有時間內做積分。積分結果再乘上這個常量——1/sqrt(s)。後面這次相乘是為了使能量歸一化處理而作的，其目的是使變換後的訊號在任意比例上都有相同的能量。最終結果就是變換後的值，即在t=0時刻和s=1的情況下的連續小波變換。換句話說，就是在時間-尺度平面內，tau=0，s=1時刻訊號的響應。
然後平移s=1時的小波值至t=tau時刻的位置，得到在時間-尺度平面內，t=tau，s=1時刻訊號的響應。
重複這個過程，直到小波到達了訊號的末端。這是，在時間-尺度平面內，就會得到一系列的點。
然後，將s增大一點。注意到，這是小波變換，所以tau和s都必須連續的增加。不過，如果是由計算機來進行這個變換過程，兩個引數都以乙個很小的步長增加。這是由於取樣造成的。
對所有s值，重複上面這個過程。每乙個根據給定的s計算的結果都對應時間-尺度平面內的一行。當對所應所有的s都計算完成後，對訊號的連續小波變換就完成了。
下面的圖說明了計算過程的每一步：
圖3.3
在圖3.3中，顯示了在四個不同時刻tau時的訊號和小波函式。訊號是圖3.1所示的訊號的裁剪版本，對應著訊號的高頻部分。可以看到它多麼緊湊（藍色的視窗）。它的寬度應該與訊號中最高頻分量出現的時間一致。圖中顯示了to=2，to=40，to=90和to=140時刻小波的位置。在每乙個位置，都將它與訊號相乘。很明顯，只有在小波的支撐域內，乘積不為0，其餘部分全為0。通過在時間軸上平移小波，訊號被定位在時間軸上。進一步，通過改變s的值，訊號又被定為在頻率範圍內。
如果訊號對當前的s值有乙個譜分量（這個例子中s的值是1），在訊號的譜分量出現的時刻，訊號與小波的乘積會相當大。如果對於當前的s值，譜分量不存在，那麼，乘積將會很小或為0。圖3.3中，在s=1和t=100ms附近，訊號中存在乙個視窗寬度的頻譜分量。
圖3.3中，在100ms時，對訊號做連續小波變換後將會產生大的結果，在其他時候則值很小。另一方面，當尺度很高時，連續小波變換將對在整個訊號週期內得到乙個很大的值，因為低頻訊號在整個週期內都存在。
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