原文：
譯文：小波變換的數學基礎（二）
內積，正交和正交歸一化
如果兩個向量v和w的內積為0，則說它們是正交的：
式3.6
類似的，如果兩個函式的內積也為0，則可以說兩個函式是正交的：
式3.7
如果乙個向量序列互相對偶正交，並且模都為1，那麼就說它們是正交歸一化的。如下式：
式3.8
類似的，乙個函式序列phi_k(t),k=1,2,3…如果滿足下面的公式也可說是正交歸一化的：
式3.9
且式3.10
相當於式3.11
其中delta_(kl)是克羅內克δ表示，定義如下：
式3.12
如上所說，基本函式（或向量）可能不只一系列。在他們中間，正交函式基（或向量基）極其重要，因為它們在查詢這些分析係數時表現出良好的特徵。利用正交歸一化性質，正交歸一化基使得人們可以用乙個更簡單和直接的方法計算這些係數。
對正交歸一化基，係數u_k可以這樣計算：
式3.13
函式f(t)可以通過替換u_k係數由式3.2a來重構。即：
式3.14
在雙正交基應用的場合正交歸一化基不適用，而雙正交基卻是從正交歸一化基總結出來的。這裡的「雙正交」意思是兩個不同的基，彼此正交，但是二者都不是正交序列（每一組向量之間並不一定具有正交關係）。
在座標系統應用的場合，雙正交基也不適用了。座標系統是構成小波理論的一部分，感興趣的讀者可以去讀前文提到的凱瑟的書。
和前面講解快速傅利葉變換一樣的順序，我們將會舉一系列連續小波變換的例子。例子裡給出的圖都是從乙個計算連續小波變換的程式而來。
在我們結束這一節之前，我將說一下兩個應用最廣的母小波。墨西哥帽小波被定義為高斯函式的二階微分：
式3.15
即式 3.16
morlet小波定義為：
式 3.16a
其中a為調製引數，sigma為影響窗寬度的尺度引數。
小波變換教程 十四
原文 譯文 小波合成 如果滿足式3.18所示的條件，則cwt為可逆變換。幸運的是，這並不是乙個非常苛刻的條件。只要滿足式3.18所示的條件，即便基函式並不是歸一化正交基。由小波係數計算原始訊號值的小波重構過程可用如下公式計算 式 3.17 逆連續小波變換 其中 c psi為與所用小波有關的常數。這個...
小波變換教程 八
譯文 原文 連續小波變換的計算 對上面公式的解釋將在本節中進行詳細說明。以x t 作為被分析的訊號。選用的小波作為訊號處理中用到的所有窗函式的原型。應用的所有窗都是母小波的放大 或縮小 和平移版本。有很多函式可以滿足這個條件。morlet小波和墨西哥帽小波 mexican hat 是其中最有代表性的...
小波變換 小波變換入門 haar小波
小波可以認為是乙個帶通濾波器，只允許頻率和小波基函式頻率相近的訊號通過。小波變換的基本思想是用一組小波函式和基函式表示乙個函式或者訊號。首先，以haar小波變換過程為例來理解小波變換。例 求只有4個畫素 9 7 3 5 的影象的哈爾小波變換係數。計算步驟如下 步驟2 求差值 differencing...