鑑於noip初賽考到了卡特蘭數.....整理一下。湊合著看。
一、介紹
卡特蘭數是一種經典的組合數，經常出現在各種計算中，其前幾項為
: 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900,
2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190,
6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650,
1289904147324, 4861946401452, ...
當你打表出來時，別不認識這是卡特蘭數。
二、
卡特蘭序列
通項公式：
遞推公式：
c(n) = c(1)*c(n-1) + c(2)*c(n-2) + ... + c(n-1)c(1)，n>=2
一般性質：
三、證明 (挺神奇的.jpg
給你乙個只有0和1的序列，n個0和n個1，從左向右掃瞄，要求任何是乙個
位置字首1
的個數大於等於
字首0的個數，
若不符合要求，則為不合法序列。
則合法序列的個數為c(n,2n)-c(n+1,2n);
證明這個問
題的答題思路是用所有序列的
個數-不符合條件的個數。
s1：如果不考慮字首1的個數大於等於0的個數，則方案數有c(n,2n)種。
s2：那麼不符合條件的方案數有多少種呢？接下來證明，不符合條件的方案數
有c(n+1,2n)種。
假如n=5,我隨便寫一種不符合條件的序列。
1010010101
從左往右掃瞄，發現到第5個位置，0的個數為3,1的個數為2，這是第乙個
不符合要求的位置。那麼我們
可以知道任何
個不符合要求的序列，一定
存在乙個奇數字,此時字首有m+1個0和m個1。則這個位置後面
還有n-(m+1)
個0和(n-m)個1.
此時把後面的0改成1,1改成0；那麼後面就有了n-(m+1)個1
和(n-m)個0；
那麼總的序列就有，(m+1)+(n-m)=n+1個0，
m+(n-m-1)=n-1個
1。此時序列就變成有n+1個0，n-1個
1的序列。
由於0比1多兩個。所以這個序列
無論怎麼排一定不合法。
設第乙個不合法的位置是x,則前
有m+1和0和m
個1。這時把x後的0變成1,1變成0後，這個序列又回到了n個1，n個0的序列。
所以不符
合條件的序列個數
就是n+1個
0和n-1個1的所有排列。
四、應用
下面其實都是網上抄的...
(1)對於乙個n*n的正方形網格，每次只能向右或者向上移動一格，那麼從左下角到右上角
所有在副對角線右下方的路徑總數為
(2)對凸n+2邊形進行不同的三角形分割（只連線頂點對形成n個三角形）數為cn
(3)n個數入棧後的出棧的排列總數是
(4)n層的階梯切割為n個矩形的切法數也是
(5)在乙個2*n的格仔中填入1到2n這些數值使得每個格仔內的數值都
比其右邊和上邊的所有數值都小的情況數也是
(6)我們可以將應用1變換形式：將-1看成右括號，+1看成左括號，就變成了左括號和右括號各有n個時，合法括號表示式的個數。比如2個左括號和2個右括號組成的合法表示式有
種，是()()和(())。
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