計數DP 多重組合數問題

多重集組合數，有\(n\)種物品，第 i 種有\(a_i\)個。不同種類的物品可以互相區分但是相同的種類的無法區別。從這些物品中取\(m\)個有多少種取法。

限制條件：

\(1 \leq n \leq 1000\)

\(1 \leq m \leq 1000\)

\(1 \leq a_i \leq 1000\)

\(2 \leq m \leq 10000\)

\[dp[i+1][j] = \sum_^}dp[i][j-k]

\]但是利用這個遞推式進行計算的時間複雜度為\(\mathcal\)，根據限制條件，該演算法時間複雜度過高，需要進行優化。

我們對遞推式進行優化，優化後的結果如下，下面將闡明如何得到這個遞推式的:

\[dp[i+1][j] = dp[i + 1][j - 1] + dp[i][j] - dp[i][j - 1 - a_i]

\]分兩種情況：

這時候\(dp[i + 1][j - 1]\)的k的取值範圍是\([0, j - 1]\):

\[dp[i + 1][j - 1] = dp[i][j-1] + dp[i][j-2] + \cdots + dp[i][1] + dp[i][0]

\]又因為\(a[i] > j - 1 \rightarrow a[i] \ge j\),這時k的取值範圍是\([0, j]\):

\[dp[i+1][j] = dp[i][j] + dp[i][j - 1] + \cdots + dp[i][1] + dp[i][0]

\]可以發現\(dp[i+1][j]與dp[i+1][j-1]\)之間只差乙個\(dp[i][j]\)可以用如下圖表示:

這時，將式子進行展開得到:

\[\left\

xdp[i+1][j] = dp[i][j] + dp[i][j-1] + \cdots + dp[i][j-a[i]] \\

dp[i+1][j-1] = dp[i][j-1] + \cdots + dp[i][j-1-a[i]] \\

\end\right.

\]用影象進行表示如下:

因此，可以證明上述表示式成立。

核心**如下:

int n, m;

int a[max_n]
int dp[max_n][max_m]
void solve()else dp[i + 1][j] = dp[i + 1][j - 1] + dp[i][j];
}	}}

多重組合數 計數類DP

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