對於任何非空有上界的集合
a ，其上界b的集合b含有最小元b′
，也就是說，存在唯一的元素b′
∈b使得： 1)b
′ 是集合a的上界，即對於一切a∈
a ，成立b≥
a ; 2)b
′ 是集合
b 的最小元素，也就是說對於一切b′
∈b,有b
′≤b . 元素b
′ 叫做集合a的上確界(記作:b′
=sup
a ).
同樣的，對於有下界的集合
a ，其下界的集合
d同樣存在其下確界.
利用數列的極限存在一常數，可以迭代計算出該常數，下面舉幾個例子。
1.heron迭代xn
+1=1
2(xn
+axn
) 其中a
是正常數，x1
是任意的正數。由定理：
單調遞減且有下界的數列有極限等於in
f(an
) .
得出 limn→
∞xn+
1=12
(limn→
∞xn+
alimn→
∞xn)
得到limn→∞
xn=a
√ .
這種迭代方法的精彩之處在於，它對於初值不敏感，並且計算過程中出現的錯誤，也會在接下來的迭代過程中得到修正。
同時，我們還可以計算出迭代過程的收斂速度，從等式 xn
+1±a
√=(x
n±a√
)22x
n,得到 xn
+1−a
√xn+
1+a√
=(xn
−a√x
n+a√
)2,
令x1−
a√x1
+a√=
q .對於x
1>0,
有|q|
<
1 .然後得到 xn
−a√x
n+a√
=q2n
−1,
因此 xn=
1+q2
n−11
−q2n
−1a√
, 收斂速度 δn
=xn−
a√=2
q2n−
11−q
2n−1
a√2.克卜勒方程
同樣可以使用逐次迭代求解克卜勒方程 x−
asin
x=y(
0<
a<1)
. 令 x
0=y,
xn=y
+asi
nxn−
1.
工科數學分析之數學感悟
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