數列的概念
|| 定義一：數列的定義
若函式f 的定義域為全體正整數n+，則稱該函式值的集合f(n),n∈n+為數列，數列可寫作 a1,a2,…,an…或簡單記作，其中an稱為數列的通項
|| 定義二: 數列收斂的ε - n定義（「無限接近」轉義為「差的絕對值無限小」）
設為數列，a為定數。若給定任意正數ε，總存在某正整數n，使得當n>n時,|an - a| < ε，則稱數列收斂於a，定數a稱為數列的極限，並記作
|| 若數列沒有極限，則稱不收斂，或稱為發散數列
|| 關於極限的一些注意事項：
|| 定義三：無窮小數列定義
若數列收斂，且極限為0，則該收斂數列稱為無窮小數列
|| 定理1：收斂數列極限為a的充要條件
當為無窮小數列，收斂數列極限為a
收斂數列的性質
|| 定理2：極限的唯一性
若i數列收斂，則它只有乙個極限
|| 定理3：有界性
若收斂，則為有界數列，即存在正數m，使得對一切正整數有 |an| < m
|| 定理4：保號性 （在應用保號性時a` = a / 2）
若limn->∞ an= a，則對任何a』∈（0，a），存在正數n使當n>n時有an>a』
|| 定理5：保不等式性（若n->∞，數列通項的大小關係，即為數列極限的大小關係）
設和均為收斂數列，若存在正數n,使得當n>n時有an≤bn，則limn->∞ an≤limn->∞ bn
|| 定理6：迫斂性
設和均為收斂數列，且以a為極限。數列滿足：存在正數n，當n>n時有an≤cn≤bn，則數列收斂，且limn->∞ cn = a
|| 定理7：四則運法則 加減乘除
若和均為收斂數列，則，，也都是收斂函式且
特別的，當bn為常數時也滿足上式子（當然除法時bn!= 0）
定義四：子列的定義 （子列其實就是從數列中不連續但按順序取數組成）
設為數列，為正整數集n+的無限子集，且n1
21，an
2，…，an
k，…稱為的乙個子列，簡記為
注意：本身也是乙個子列
定義五：平凡子列和非平凡子列
該數列本身和去掉有限項的子列，稱為的平凡子列，不是平凡子列的子列稱為非平凡子列，例：，為非平凡子列
注意：因為平凡子列只刪去了有限項，故原數列和任一平凡子列同為發散或收斂（收斂的鄰域定義）
定理8：子列與原數列收斂的關係(往往判斷數列收斂發散，因為只需要舉出乙個反例即可證發散）
數列收斂的充要條件是：的任何非平凡子列都收斂，且與原數列共同收斂於乙個極限
數列極限存在的條件
對於一些複雜的極限問題，首先要考察數列是否有極限，我們通常需要從數列的本身特徵上找到存在性的判斷，故以下討論一些數列
|| 單調數列：遞增數列和遞減數列（既可用於極限存在性判斷，同時是數列收斂的充分條件(有界說明極限為常數)）
若各項滿足關係an ≤ an+1，則稱為遞增數列
|| 定理9：單調有界定理
在實數系中，有界的單調數列必有極限（遞增數列若有界則必定是上界啦，遞減數列若有界則必定是下界啦，其確界就是他們的極限）
|| 特殊的數列 ：遞增數列有界，且極限用拉丁字母 「e」表示（e≈2.718 281 828 459）
以e為底的對數稱為自然對數，通常記 lnx = logex
||定理10：柯西收斂準則 （既可用於極限存在性判斷，同時是數列收斂的充分必要條件）
數列收斂的充要條件是：數列滿足柯西條件(對任給的ε>0，存在正整數n，使得當n，m > n時有 |an - am| < ε)
注意：區別數列收斂的ε-n定義，定數a變成了數列中的am，因此只需要關注數列本身的特徵就可以鑑別收斂發散性而不需要借助其他定數a
|| 柯西收斂準則的條件稱之為柯西條件：空間意義為當n足夠大以後，數列各項的值都擠在了一起（差的絕對值小於任意小的數）
《數學分析八講》 2 極限
極限是數學分析最重要的概念之一。可以加深理解極限各種運算的使用條件。原文較難理解，只列出一些我認為關鍵的內容。lim x a lim x a limx a 單獨的式子的意義還未有精確的定義，lim x ay b lim y b limx a y b 卻有精確的定義 無論數b的鄰域v是怎麼樣的，都存在...
數學分析摘要
對於任何非空有上界的集合 a 其上界b的集合b含有最小元b 也就是說，存在唯一的元素b b使得 1 b 是集合a的上界，即對於一切a a 成立b a 2 b 是集合 b 的最小元素，也就是說對於一切b b,有b b 元素b 叫做集合a的上確界 記作 b sup a 同樣的，對於有下界的集合 a 其下...
工科數學分析之數學感悟
上課總有一頭霧水的時候，一頭霧水皆因神遊，某幾個概念沒有聽，課前也沒有預習，導致根本不知道講的名詞或者符號是啥意思，結果呈滾雪球狀之後全聽不懂。這時候我都是迅速翻書找這些概念，先弄懂了再跟著老師走。看來課前預習課後複習的學習方法什麼時候都不過時。大學之前學習數學，會得出乙個規律，最後算出來的答案往往...