極限是數學分析最重要的概念之一。可以加深理解極限各種運算的使用條件。原文較難理解，只列出一些我認為關鍵的內容。
lim x
=a
\lim x=a
limx=a
單獨的式子的意義還未有精確的定義，limx
→ay=
b\lim_y=b
limx→a
y=b
卻有精確的定義：
無論數b的鄰域v是怎麼樣的，都存在數a的鄰域u，使得∀x∈
u且x≠
a,有y
∈v
\forall x\in u 且 x\neq a,有y\in v
∀x∈u且x
̸=a
,有y∈
v.
通常理解為：當x充分接近a時，y充分接近b。(當x的極限為a時，y的極限是b)。
通常約定常量的極限就是常量本身。注意這是一種約定，它不與極限的概念相矛盾，也能簡化極限的分析。如同平行公理假設一般，也許不採用這樣的約定會產生不一樣的極限分析。
已知函式y=f
(x
)y=f(x)
y=f(x)
,當x →a
x\rightarrow a
x→a時是否有極限？
即：是否存在數b，使得當x→a
x\rightarrow a
x→a時，y→b
y \rightarrow b
y→b。a
aa可以是數，也可以符號∞
\infty
∞；只討論存在性問題
柯西準則：函式y=f
(x
)y=f(x)
y=f(x)
當x →a
x\rightarrow a
x→a時有極限，充分必要條件：無論對於怎麼樣的小的正數ϵ
\epsilon
ϵ，都存在數(或符號)a的乙個鄰域u
uu，使得u
uu中任何兩個數x1,
x2
x_1,x_2
x1,x2
，都有∣f(
x1)−
f(x2
)∣
<
ϵ\left | f(x_1)-f(x_2) \right | <\epsilon
∣f(x1
)−f(
x2)
∣<
ϵ
兩個量之和的極限等於它們的極限之和。隱含的意思時：兩個加項及和 存存在極限，並且只涉及到極限的關係，而不是三個量的關係。當然兩個加項存在極限，其和也必定存在極限。
但是和的極限存在，不能說明加項都有極限。
完整敘述：如果已知的有限多個量中每乙個當x→a
x\rightarrow a
x→a時都有極限，則它們的和也有極限，並且和的極限等於各項的極限的和。
部分極限定義：如果對數a
aa的任意鄰域u
uu以及數b
bb的任意鄰域v
vv，都可以找到乙個異於a
aa的點x∈u
x \in u
x∈u使得f(x
)∈
vf(x) \in v
f(x)∈v
.就稱數b
bb是函式y=f
(x
)y=f(x)
y=f(x)
在x →a
x\rightarrow a
x→a 時的部分極限。
左極限右極限 都是部分極限。
1)任意函式y=f
(x
)y=f(x)
y=f(x)
當x →a
x\rightarrow a
x→a時都至少有乙個部分極限
2)如果數b是函式y=f
(x
)y=f(x)
y=f(x)
當x →a
x\rightarrow a
x→a時唯一部分極限，則limx
→ay=
b\lim_y=b
limx→a
y=b
這一部分內容主要是給"極限"正名，讓極限的概念具有理論基礎。量的極限應與量本身區分開。例如"無窮小量"，是指x
xx趨近於a
aa時，f(x
)f(x)
f(x)
趨近於0
00.代表的是一種過程趨勢，而絕不是函式值。極限與鄰域密不可分，不存在鄰域則極限無從談起，鄰域與單點函式值顯然是有根本的區別的。再比如符號+
∞+\infty
+∞的概念本身不具有任何意義，任何數都不能等於+
∞+\infty
+∞，但是+
∞+\infty
+∞的鄰域(大於n的全體實數集合)有意義。
數學分析 2 數列極限
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工科數學分析之數學感悟
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