陶哲軒實分析 命題 13 3 2 最大值原理

設 $(x,d)$ 是緊緻度量空間,並設 $f:x\to\mathbf$ 是連續函式,那麼 $f$ 是有界的.更進一步, $f$ 在某點 $x_\in x$ 達到它的最大值,也在某點 $x_$ 達到它的最小值.

$$f(x_1),f(x_2),\cdots,f(x_n),\cdots$$

該序列的極限是 $f$ 在 $x$ 上的上確界 $a$.由於 $x$ 的緊緻性,因此序列

$$x_1,x_2,\cdots,x_n,\cdots$$

在 $x$ 上有收斂子列收斂到 $x$ 上的乙個元素 $p$,下面證明 $f(p)=a$.這是容易的(具體怎麼證留給讀者).

可見與假設矛盾,因此 $f$ 在 $x$ 上能達到上確界,該上確界即 $f$ 在 $x$ 上的最大值.$\box$

陶哲軒實分析 命題 13 3 2 最大值原理

設 x,d 是緊緻度量空間,並設 f x to mathbf 是連續函式,那麼 f 是有界的.更進一步,f 在某點 x in x 達到它的最大值,也在某點 x 達到它的最小值.下面我來證明 f 在 x 上能達到最大值 最小值類似,不予詳述 由於 f 在 x 上有界,因此 f 在 x 上有上確界 下證...

陶哲軒實分析命題6 4 12

設 a n 是實數列，設 l 是此序列的上極限，l 是此序列的下極限 於是 l 和 l 都是廣義實數 a 對於每個 x l 存在乙個 n geq m 使得 a n證明 利用反證法結合上極限的定義很容易證明.b 對於每個 xx 對於 l 有類似結論.證明 證明也很簡單.利用反證法即可.我說證明都很簡單...

陶哲軒實分析 命題7 18 證明

命題7.1.8 有限求和是定義成功的 設 x 是具有 n n in mathbb 個元素的有限集合.設 f x to mathbb 是函式.並設 g to x 和 h to x 都是雙射.則我們有 sum nf g i sum nf h i 證明 證明使用數學歸納法.當 n 0 時，根據定義，sum...