我舉乙個例項來說明.對於如下$5\times 5$的矩陣
\begin
\begin
a_&a_&a_&a_&a_\\
--&--&--&--&--\\
a_&a_&a_&a_&a_\\
a_&a_&a_&a_&a_\\
a_&a_&a_&a_&a_\\
a_&a_&a_&a_&a_\\
\end
\end
來說，它的行列式由5!=120項組成,$a_a_a_a_a_$是其中一項.經過轉置後，這一項對應的項是$a_a_a_a_a_$.易得這兩項的符號其實是相同的.然後呢？然後就證完了呀！
下面我說明為什麼$a_a_a_a_a_$的符號和$a_a_a_a_a_$的相同.我們來說明這兩者的逆序數其實是相同的，這是因為，比如，$a_$和$a_$形成乙個逆序，那麼$a_$和$a_$也就形成了乙個逆序.$a_$和$a_$形成了乙個順序，那麼$a_$和$a_$也就形成了乙個順序.所以兩者的逆序數是相同的.所以兩者的符號是相同的.
這是很簡單的，因為兩行對調的時候，改變了逆序數的奇偶性.比如，對於如下的矩陣，
\begin
\begin
a_&a_&a_&a_&a_\\
a_&a_&a_&a_&a_\\
a_&a_&a_&a_&a_\\
a_&a_&a_&a_&a_\\
a_&a_&a_&a_&a_\\
\end
\end該矩陣的行列式裡的其中一項，比如$a_a_a_a_a_$,當我們把該矩陣的其中兩行換掉，比如把第二行和第四行換掉之後，$a_a_a_a_a_$就變成了$a_a_a_a_a_$.如果原來該項是順序，那麼換一下之後就成了逆序;如果原來該項是逆序，那麼換了一下之後就成了順序.對該行列式中的每一項莫不如此.因此兩行互換之後，行列式的值變號.
這是很簡單的，舉個例項
\begin
\left(
\begin
1&2&3\\
1&2&3\\
7&8&9
\end
\right)
\end
行列式展開的時候，其中含有一項$1\times 2\times 9$,同時會含有另外一項$2\times 1\times 9$.這兩項因符號相反，會抵消.各項皆如此，因此行列式為0.
我們利用數學歸納法來證明行列式的拉普拉斯展開：
設$n\times n$階矩陣
$$a=
\begin
a_&\cdots&a_\\
\vdots&\cdots&\vdots\\
a_&\cdots&a_\\
\end
$$當$n=2$時，容易驗證行列式的拉普拉斯展開是成立的.設當$n=k$時，行列式的拉普拉斯展開也成立，則當$n=k+1$時，我們來看$a_$和$a_$,兩相比較，便會發現行列式的拉普拉斯展開是顯然成立的.
\begin
\begin
a_&a_&a_&a_&a_\\
--&--&--&--&--\\
a_&a_&a_&a_&a_\\
a_&a_&a_&a_&a_\\
a_&a_&a_&a_&a_\\
a_&a_&a_&a_&a_\\
\end
\end
注: 設$a_$為$a_$的代數余子式，我們知道設$a,b$都是域$f$上的$n\times n$矩陣，則$$|a|=a_a_+\cdots+a_a_$$
下面我們要證明另外乙個結論:
當$i>1$時，
$$a_a_+\cdots+a_a_=0$$
證明:證明很簡單.比如，當$i=3$,$n=5$時(見上面的**)，$a_a_a_a_a_$是一項.與之相應的，該項的counter part是$a_a_a_a_a_$,這兩項符號相反(之所以符號相反，是因為逆序數發生了變化)，因此相加之後會互相抵消為0.每一項皆如此，因此總的相加效應為0.$\box$
$$|ab|=|a||b|$$
證明：$$
a=\begin
a_&\cdots&a_\\
a_&\cdots&a_\\
\vdots&\vdots&\vdots\\
a_&\cdots&a_
\end
b=\begin
b_&\cdots&b_\\
b_&\cdots&b_\\
\vdots&\vdots&\vdots\\
b_&\cdots&b_
\end
$$我想證明
$$|ab^t|=|a||b^t|=|a||b|$$
$|a||b^t|=|a||b|$根據「乙個行列式等於它的轉置」，是成立的.所以只用證明
$$|ab^t|=|a||b|$$
這是顯然的！只用好好觀察一下：$|ab^t|$有的項，$|a||b|$也有.而$|a||b|$有的項，$|ab^t|$也有.而且相同項前面的符號相同.
因此$$|ab^t|=|a||b^t|$$得證.從這一點很容易推出
行列式的性質
我舉乙個例項來說明.對於如下 5 times 5 的矩陣 begin begin a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a end end 來說，它的行列式由5 120項組成,a a a a a 是其中一項.經過轉置後，這一項對應的項是 a ...
行列式基本性質彙總
行列式是線性代數中的基礎，存在很多行列式的性質可以簡化我們對行列式的計算。1.行列式和它的轉置行列式相等 2.對換行列式的兩行 列 行列式變號 推論 如果行列式有兩行 列 完全相同，則此行列式等於零。行列式的某一行 列 中所有的元素都乘同一數k，等於用數k乘此行列式。推論 行列式中某一行 列 中所有...
行列式 一 基本定義性質及高斯消元求解行列式
目錄性質 高斯消元求解 d left begin a a a a a a a a a end right 上圖是乙個三階行列式，行列式是形如上圖的乙個東西，簡記為 det a 其中 a 是行列式的第 ij 元。乙個n階行列式的值為 sum 1 t a a a 其中 t 是 1 n 的排列 p 1,p...