陶哲軒實分析公理8 1 選擇公理

為了介紹選擇公理，陶哲軒在前面打了兩個鋪墊.

第乙個鋪墊是陶哲軒實分析_引理3.1.6：

若$a$是乙個非空集合，則存在乙個物件$x$,使得$\exists x\in a$.

該引理採用反證法：假若對於一切物件$x$,$x\not\in a$,現在要推出$a=\emptyset$,從而導致矛盾,因此假設不成立.怎樣才能推出$a=\emptyset$呢？當然是嚴格依照集合相等的定義，要證明

$$x\in a\leftrightarrow x\in \emptyset$$

兩者皆假，當然能互推.

第二個鋪墊是陶哲軒實分析_引理3.5.12：

設$n\geq 1$是自然數，並且對於每個自然數$1\leq i\leq n$,$x_i$都是非空集合.則$\prod_^nx_i$是非空集合.

該引理採用數學歸納法，結合陶哲軒實分析_引理3.1.6,很容易證明.

最後便是選擇公理：

設$i$是乙個無限集合，並且對於每個$\alpha\in i$,$x_$都是非空集合，那麼$\prod_x_$也是非空集合.

笛卡爾積分為有限笛卡爾積和無限笛卡爾積，有限笛卡爾積是無限笛卡爾積的特例,這在陶哲軒實分析_注3.5.8裡曾預告過.先回顧一下有限笛卡爾積的定義：設$x_1,\cdots,x_n$是$n$個集合.笛卡爾積$\prod_^n x_i=u$，其中

$$u\subset\\\mbox \bigcup_^nx_i\mbox\}$$$u$滿足$$f\in u\leftrightarrow \forall 1\leq i\leq n,f(i)\in x_i$$

下面看有限笛卡爾積是怎樣直接推廣到無限笛卡爾積的.$i$是乙個集合，對於$i$中的每乙個元素$\alpha$,都有乙個集合$x_$與之對應.笛卡爾乘積$\prod_x_=u$.其中$$u\subset \i\mbox\bigcup_x_\mbox\}$$$u$滿足$$f\in u\leftrightarrow \forall \alpha\in i,f(\alpha)\in x_$$這樣子我們就定義完了無限笛卡爾積，我們發現$i$是有限集$\$的推廣.

由於無限笛卡爾積是有限笛卡爾積的直接推廣，有限笛卡爾積應當是無限笛卡爾積的特例.這一點是需要驗證的，即證明$i$是有限集的時候，無限笛卡爾積的定義與有限笛卡爾積是等價的.這是容易證明的.證好了相容性之後，就萬事大吉了.

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