總結字尾平衡樹學習筆記

字尾平衡樹，就是動態的維護字尾陣列，可以 \(o(\log n)\) 在末尾插入字元，\(o(\log n)\) 查詢 \(rank,sa\)。但是由於是維護的字尾資訊，所以插入只能在末尾插入字元（然後轉化成在開頭加乙個字元），相當於新增乙個字尾。

方法一：

我們需要一種能比較兩個字尾大小的方法，最簡單就是二分+hash，\(o(\log n)\) 實現，再加上平衡樹插入複雜度，總複雜度 \(o(\log^2 n)\)。

方法二：

考慮另一種比較方法，因為每次只新增乙個字元，也就是說如果把第乙個字元刪掉，那剩下的字串在之前已經插入過字尾平衡樹中了，我們只需要先比較一下兩個字尾的第乙個字元，後面字串的比較直接呼叫之前資訊就好。

那怎麼快速比較字尾平衡樹中兩個字尾大小呢？我們給每個點乙個權值區間 \([l,r]\)，定義這個點的權值 \(tag_i\) 為 \(mid=\frac2\)。那它左子樹對應的區間就是 \([l,mid-1]\)，右子樹對應的區間就是 \([mid+1,r]\)。發現如果按照中序遍歷的順序遍歷整顆平衡樹，那每個點的權值是單調遞增的。

可是這是平衡樹誒。如果是那種基於旋轉重構的平衡樹那豈不是每次旋轉都要重構一遍子樹內的權值？ \(emmm\) 確實是這樣，所以要用到一種更高階的平衡樹---重量平衡樹。重量平衡樹就是要保證平衡不能是均攤平衡，然後要麼沒有旋轉，要麼旋轉影響的子樹大小是期望\(\log\)或者均攤\(\log\)。\(treap\) 和替罪羊樹都滿足這個條件。所以我們直接拿 \(treap\) 維護就好了。

嗯以上就是基本概念了，然後講一下怎麼維護好我們需要的 \(rank,sa,height\) 陣列。

再次強調這裡把每次往末尾插入乙個元素轉化成每次往開頭插入乙個元素

回顧最開始說的比較方法，如果兩個字串首字元不一樣那麼直接比較，否則比較去掉首字元後兩個字串的 \(tag\) 值。**長這樣：

bool cmp(int x,int y) else
}

同時因為我們需要二分+雜湊維護 \(height\)，所以還需要動態維護雜湊值。

別的就沒啥了。

也不知道有啥用。

一道例題要求往字串末尾插入乙個字元，撤銷乙個插入，詢問當前字串本質不同子串個數。

#pragma gcc optimize(2)
#includeusing std::min;
using std::max;
using std::swap;
using std::vector;
typedef double db;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
#define pb(a) push_back(a)
#define pii std::pair#define all(a) a.begin(),a.end()
#define mp(a,b) std::make_pair(a,b)
#define int long long
const int n=1e5+5;
const int inf=1e18;
const int base=9973;
char s[n];
int lcp[n],ans,prio[n];
int root,tag[n],ch[n][2];
int n,tot,sze[n];;ull hsh[n],pw[n];
int getint()
bool cmp(int x,int y)
void rotate(int &x,int d,int l,int r)
void insert(int &x,int l,int r) int d=cmp(x,tot),mid=l+r>>1;
sze[x]++;
if(d) insert(ch[x][d],mid+1,r);
else insert(ch[x][d],l,mid-1);
if(prio[ch[x][d]]=k) return kth(ch[x][0],k);
return kth(ch[x][1],k-sze[ch[x][0]]-1);
}bool eq(int l1,int l2,int len)
int getlcp(int a,int b) return ans;
}void ins(int x)
int merge(int x,int y)
}void del()
signed main() return 0;
}

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